Question

6．在一個神話敵事中，有一只小兔住在一個周長為1千米的圓形神湖旁，A、B兩點把這個神湖分成兩部分（如圖），已知小兔從B點出發(fā)，沿逆時針方向做跳躍運動，它每跳$\frac{3}{8}$千米休息一次，如果跳到A點正好休息，那么就會經(jīng)過特別通道AB滑到B點，從B點繼續(xù)跳．它每經(jīng)過一次特別通道，神湖半徑就擴大一倍，現(xiàn)已知小兔共休息了1000次，這時神湖周長是多少千米？（AB為圓的直徑）

Answer 1

分析 把周長為1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息時正好在A點，于是經(jīng)過特別通道到B點，此時神湖周長變成2千米；我們再把新的神湖分成16段，現(xiàn)在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A點休息…如此繼續(xù)下去，休息到16次、32次、64次、128次…小兔子才在A點休息，神湖周長是2千米、4千米、8千米…4+8+16+32+64+128+256=508＜10004+8+16+32+64+128+256+512＞1000，所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A點，據(jù)此即可求出此時神湖的周長．

解答 解：如圖


把周長為1千米的神湖8等分，小兔子休息一次已跳3段，休息4次已跳12段，恰好一周半，第4次休息時正好在A點
休息后小兔子經(jīng)過特別通道到B點，此時神湖周長變成2千米
再把新的神湖分成16段，現(xiàn)在小兔子休息到8次，共跳了24段才在A點休息
…
即兔子跳了4次、8次、16次、32次、64次、128次…
神湖周長是2千米、4千米、8千米、16千米…
因為：4+8+16+32+64+128+256=508＜1000
4+8+16+32+64+128+256+512＞1000
所以小兔子休息1000次，有7次休息恰好在A點，此時神湖周長是128千米
答：所以休息1000次后，神湖周長是128千米．

點評 此題較難．關(guān)鍵是明白小兔子休息1000次后，有多少次在A點，因為只有在A點休息后，神湖周長才擴大一倍．