Question

如圖所示，把正方體用兩個(gè)與它的底面平行的平面切開(kāi)，分成三個(gè)長(zhǎng)方體．這三個(gè)長(zhǎng)方體的表面積比是3：4：5時(shí)．用最簡(jiǎn)單的整數(shù)比表示這三個(gè)長(zhǎng)方體的體積比是多少？

Answer 1

分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，三個(gè)長(zhǎng)方體的高分別為h1，h2，h3，則h1+h2+h3=a．由題意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，則進(jìn)行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，得出2h1+a=3，2h2+a=4，2h3+a=5，解方程組分別求出a、h1、h2、h3，求出h1、h2和h3的比，因?yàn)榈酌娣e相等，高的比即體積的比．

解答：解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，三個(gè)長(zhǎng)方體的高分別為h1，h2，h3，則h1+h2+h3=a．由題意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，則進(jìn)行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，
（ah1+ah1+aa）：（ah2+ah2+aa）：（ah3+ah3+aa）=3：4：5，
a（2h1+a）：a（2h2+a）：a（2h3+a）=3：4：5，
則：2h1+a：2h2+a：2h3+a=3：4：5，
假設(shè)2h1+a=3，則：2h2+a=4，2h3+a=5，
即：h1=

3-a

2

，h2=

4-a

2

，h3=

5-a

2

，因?yàn)閔1+h2+h3=a，所以：

3-a

2

+

4-a

2

+

5-a

2

=a，則：a=2.4，
則h1=0.3，h2=0.8，h3=1.3，
高的比為：0.3：0.8：1.3=3：8：13，因?yàn)榈酌娣e相等，高的比即體積的比，所以體積的比是：3：8：13；
答：這三個(gè)長(zhǎng)方體的體積比是3：8：13．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵：先設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，然后設(shè)出切開(kāi)后的長(zhǎng)方體的高，然后根據(jù)表面積之比列出比，進(jìn)而假設(shè)，求出三塊長(zhǎng)方體高的比，進(jìn)而根據(jù)底面積相等，高的比即體積比，得出結(jié)論．