Question

如圖所示，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體．這三個長方體的表面積比是3：4：5時．用最簡單的整數(shù)比表示這三個長方體的體積比是多少？

Answer 1

分析：設正方體的棱長為a，三個長方體的高分別為h1，h2，h3，則h1+h2+h3=a．由題意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，則進行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，得出2h1+a=3，2h2+a=4，2h3+a=5，解方程組分別求出a、h1、h2、h3，求出h1、h2和h3的比，因為底面積相等，高的比即體積的比．

解答：解：設正方體的棱長為a，三個長方體的高分別為h1，h2，h3，則h1+h2+h3=a．由題意可得：
2（ah1+ah1+aa）：2（ah2+ah2+aa）：2（ah3+ah3+aa）=3：4：5，則進行整合得出：（2h1+a）：（2h2+a）：（2h3+a）=3：4：5，
（ah1+ah1+aa）：（ah2+ah2+aa）：（ah3+ah3+aa）=3：4：5，
a（2h1+a）：a（2h2+a）：a（2h3+a）=3：4：5，
則：2h1+a：2h2+a：2h3+a=3：4：5，
假設2h1+a=3，則：2h2+a=4，2h3+a=5，
即：h1=

3-a

2

，h2=

4-a

2

，h3=

5-a

2

，因為h1+h2+h3=a，所以：

3-a

2

+

4-a

2

+

5-a

2

=a，則：a=2.4，
則h1=0.3，h2=0.8，h3=1.3，
高的比為：0.3：0.8：1.3=3：8：13，因為底面積相等，高的比即體積的比，所以體積的比是：3：8：13；
答：這三個長方體的體積比是3：8：13．

點評：解答此題的關鍵：先設出正方體的棱長，然后設出切開后的長方體的高，然后根據(jù)表面積之比列出比，進而假設，求出三塊長方體高的比，進而根據(jù)底面積相等，高的比即體積比，得出結論．