Question

四個(gè)人聚會(huì)，每人各帶了2件禮品，分贈(zèng)給其余三個(gè)人中的二人，試證明：至少有兩對(duì)人，每對(duì)人是互贈(zèng)過(guò)禮品的．設(shè)此四人為甲、乙、丙、丁并用畫(huà)在平面上的四個(gè)點(diǎn)分別表示他們，稱(chēng)為它們的代表點(diǎn)，當(dāng)某人（例如甲）贈(zèng)了1件禮品給另一個(gè)（例如乙）時(shí)，就由甲向乙的代表點(diǎn)畫(huà)一條有指向的線，無(wú)非有以下兩個(gè)可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品．
（2）上面的情形不發(fā)生．這時(shí)只有以下一個(gè)可能，即有一個(gè)人接受了3件禮品．

Answer 1

設(shè)此四人為甲、乙、丙、丁并用畫(huà)在平面上的四個(gè)點(diǎn)分別表示他們，稱(chēng)為它們的代表點(diǎn)，當(dāng)某人（例如甲）贈(zèng)了1件禮品給另一個(gè)（例如乙）時(shí)，就由甲向乙的代表點(diǎn)畫(huà)一條有指向的線，無(wú)非有以下兩個(gè)可能：
（1）甲、乙、丙、丁每人各收到了2件禮品．
（2）上面的情形不發(fā)生．這時(shí)只有以下一個(gè)可能，即有一個(gè)人接受了3件禮品
（即多于2件禮品；因?yàn)橐蝗酥�外總共還有三個(gè)人，所以至多收到3件禮品）．（或許會(huì)有人說(shuō)，還有兩個(gè)可能：有人只收到1件禮品及有人什么禮品也沒(méi)收到．其實(shí)，這都可歸以“有一人接受了3件禮品”這個(gè)情形．因?yàn)椋��?dāng)有一人（例如甲）只接受了1件禮品的情形發(fā)生時(shí)，四人共帶來(lái)的8件禮品中還剩下7件在甲以外的三個(gè)人中分配，如果他們每人至多只收到2件禮品，則收受禮品數(shù)將不超過(guò)6件，這不可能，所以至少有一人收到2件以上（即3件）禮品，同樣，當(dāng)甲未收到禮品時(shí)，8件禮品分給乙、丙、丁三人，也必定有人收到3件禮品）．
當(dāng)（1）發(fā)生時(shí)，例如甲收到乙、丙的禮品，由于甲發(fā)出的禮品中至少有1件給了乙或丙，為確切計(jì)，設(shè)乙收到了甲的禮品，于是我們先有了一對(duì)人：（甲、乙），他們互贈(zèng)了禮品，如果丙也收到甲的禮品，那么又有了第二對(duì)互贈(zèng)了禮品的人（甲、丙）；如果收到甲禮品的另一人是�。ㄈ缬覉D）丁的2件禮品必定分贈(zèng)了乙及丙（甲已收足了本情形中限定的2件禮品）丙或乙的另一件禮品給了丁，則問(wèn)題也解決（這時(shí)另一對(duì)互贈(zèng)了禮品的人便是（乙、�。┗颍ū�、丁）但丙的另一件禮品只能給丁，因?yàn)檫@時(shí)乙已收足了2件禮品，所以，當(dāng)本情形發(fā)生時(shí)，至少能找到兩對(duì)互贈(zèng)過(guò)1件禮品的人．
當(dāng)（2）發(fā)生時(shí)，不失一般性，設(shè)甲收到了來(lái)自乙、丙、丁的各1件禮品，但甲又應(yīng)向他們之中的某兩人（例如乙、丙）各贈(zèng)送1件禮品，于是（甲、乙），（甲、丙）便是要找的兩對(duì)人．總上可知，證明完畢．