Question

任意給定2002個自然數(shù)，證明：其中必有若干個自然數(shù)，和是2002的倍數(shù)（單獨一個數(shù)也當作和）．

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：這2002個數(shù)為a1，a2，…，a2002，令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項和這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個數(shù)．若其中有某個Sk為2002的倍數(shù)，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數(shù)，據(jù)此即可解答問題．

解答： 解：這2002個數(shù)為a1，a2，…，a2002
令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項和
這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個數(shù)．
若其中有某個Sk為2002的倍數(shù)，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數(shù)，證畢．
若其中不存在這樣的sk，則S1，S2，..，S2002這2002個數(shù)除以2002的余數(shù)必為1至2001中的某一個，有2002個數(shù)，但余數(shù)只有2001種情況，根據(jù)抽屜原理，至少有兩數(shù)余數(shù)相同，記為sp和sq并假設p＜q．
于是sq-sp除以2002余數(shù)為0，即為2002的倍數(shù)．
于是a（p+1）+a（p+2）+…+aq 這（q-p）個數(shù)的和為2002的倍數(shù)

點評：此題主要考查整除的意義，及根據(jù)整除的意義和數(shù)的整除的特征解決有關(guān)的問題．