Question

任意給定2002個(gè)自然數(shù)，證明：其中必有若干個(gè)自然數(shù)，和是2002的倍數(shù)（單獨(dú)一個(gè)數(shù)也當(dāng)作和）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問(wèn)題

分析：這2002個(gè)數(shù)為a1，a2，…，a2002，令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項(xiàng)和這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個(gè)數(shù)．若其中有某個(gè)Sk為2002的倍數(shù)，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數(shù)，據(jù)此即可解答問(wèn)題．

解答： 解：這2002個(gè)數(shù)為a1，a2，…，a2002
令Sn=a1+…+an （n=1，2，…，2002）即Sn為an的前n項(xiàng)和
這樣得到S1，S2，..，S2002共2002個(gè)數(shù)．
若其中有某個(gè)Sk為2002的倍數(shù)，則a1+a2+…+ak的和為2002的倍數(shù)，證畢．
若其中不存在這樣的sk，則S1，S2，..，S2002這2002個(gè)數(shù)除以2002的余數(shù)必為1至2001中的某一個(gè)，有2002個(gè)數(shù)，但余數(shù)只有2001種情況，根據(jù)抽屜原理，至少有兩數(shù)余數(shù)相同，記為sp和sq并假設(shè)p＜q．
于是sq-sp除以2002余數(shù)為0，即為2002的倍數(shù)．
于是a（p+1）+a（p+2）+…+aq 這（q-p）個(gè)數(shù)的和為2002的倍數(shù)

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查整除的意義，及根據(jù)整除的意義和數(shù)的整除的特征解決有關(guān)的問(wèn)題．