Question

附加題：把1～999這999個自然數(shù)按順時針的方向依次排列在一個圓圈上（如圖）．從1開始按順時針的方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4…這樣每隔一個數(shù)擦去一個數(shù)，轉(zhuǎn)圈擦下去．問：最后剩下一個數(shù)時，剩下的是哪個數(shù)？

Answer 1

分析：如果依照題意在上圖中進行操作，直到剩下一個數(shù)為止，實在是很困難的．我們還應(yīng)從最簡單的情況入手分析，歸納出解決問題的規(guī)律，再用此規(guī)律解題．
如果是2個數(shù)1，2，最后剩下1；如果是3個數(shù)1，2，3，最后剩下3；如果是4個數(shù)1，2，3，4，最后剩下1；如果是5個數(shù)1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6個數(shù)1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7個數(shù)，最后剩下7；如果是1-8，8個數(shù)，最后剩下1．發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)的個數(shù)是2，4，8時，最后剩下的都是1．實際上，當(dāng)數(shù)的個數(shù)為2ⁿ時（n≥2），當(dāng)擦完一圈后還剩2^n-1個數(shù)，把問題化成2^n-1個數(shù)的情況．不斷作下去，最后化為2個數(shù)的情況，顯然最后剩下的數(shù)為1（1為起始數(shù)）．

解答：解：由于2⁹=512，2¹⁰=1024，2⁹＜999＜2¹⁰，
999-512=487．
這就是說，要剩2⁹個數(shù)，需要先擦去487個數(shù)．按題意，每兩個數(shù)擦去一個數(shù)，當(dāng)擦第487個數(shù)時，最后擦去的數(shù)是：487×2=974．
下一個起始數(shù)是974，所以，最后剩下的數(shù)應(yīng)是974．
答：最后剩下的數(shù)是974．

點評：這類題目有一定的規(guī)律：如果數(shù)的個數(shù)是2ⁿ（n是自然數(shù)）個數(shù)，那么劃一圈剩下2^n-1個數(shù)，劃兩圈剩下2^n-2個數(shù)，…劃n-1圈，就剩兩個數(shù)，再劃一圈就是剩下安全的數(shù)．