Question

從1至100這100個(gè)數(shù)中選出一些數(shù)，如果任意三個(gè)數(shù)之和都能被7整除，共有多少種不同的組合方法？

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：在1至100這100個(gè)數(shù)中能被7整除的有14個(gè)，它們的和也能被7整除，被7整除3個(gè)余數(shù)相加和得7的數(shù)也能被7整除，據(jù)此進(jìn)而解答即可．

解答： 解：在1至100這100個(gè)數(shù)中，
100÷7=14…2
99÷7=14…1
98÷7=14
97÷7=13…6
96÷7=13…5
95÷7=13…4
94÷7=13…3
∴1---100中能被7整除的數(shù)有14個(gè)，其中任取3個(gè)之和也能被7整除，共有C（3，14）=364種組合
1---100中能被7整除余1的數(shù)有14個(gè)；
1---100中能被7整除余2的數(shù)有14個(gè)；
1---100中能被7整除余3的數(shù)有13個(gè)；
1---100中能被7整除余4的數(shù)有13個(gè)；
1---100中能被7整除余5的數(shù)有13個(gè)； 
1---100中能被7整除余6的數(shù)有13個(gè)；
余數(shù)0+1+6，0+2+5，0+3+4，1+1+5、1+2+4，1+3+3；2+2+3之和也能被7整除；
取余0的數(shù)1個(gè)+余1的數(shù)1個(gè)+余6的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有14×14×13=2548種組合；
取余0的數(shù)1個(gè)+余2的數(shù)1個(gè)+余5的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有14×14×13=2548種組合；
取余0的數(shù)1個(gè)+余3的數(shù)1個(gè)+余4的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有14×13×13=2366種組合；
取余1的數(shù)2個(gè)+余5的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有（14，2）×（13，1）=91×13=1183種組合；
取余1的數(shù)1個(gè)+余2的數(shù)1個(gè)+余4的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有14×14×13=2548種組合；
取余1的數(shù)1個(gè)+余3的數(shù)2個(gè)它們的和也能被7整除，有14×78=1092種組合；
余2的數(shù)2個(gè)+余3的數(shù)1個(gè)它們的和也能被7整除，有91×13=1183種組合；
共計(jì)有364+2548+2548+2366+1183+2548+1092+1183=13832種組合；
答：共有13832種不同的組合方法．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是數(shù)的整除問題．若三數(shù)的和能被7整除，則這個(gè)三個(gè)數(shù)能被7整除；被7整除，3個(gè)余數(shù)相加和得7的數(shù)也能被7整除．