Question

有4個(gè)不同的正整數(shù)，它們的和是1111．請(qǐng)問(wèn)：它們的最大公約數(shù)最大能是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的方法

專題：數(shù)的整除

分析：四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是能夠整除四個(gè)數(shù)以及四個(gè)數(shù)和，首先把1111分解質(zhì)因數(shù)，求得最大約數(shù)（除本身外），再把另一個(gè)約數(shù)（或其它約數(shù)的積）分解成四個(gè)互質(zhì)的數(shù)的和，分別乘以最大約數(shù)即可解答．

解答： 解：四個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)必須能整除這四個(gè)數(shù)的和，也就是說(shuō)它們的最大公約數(shù)應(yīng)該是1111的約數(shù)．
將1111作質(zhì)因數(shù)分解，得
1111=11×101
最大公約數(shù)不可能是1111，其次最大可能數(shù)是101．
若為101，則將這四個(gè)數(shù)分別除以101，所得商的和應(yīng)為11．
現(xiàn)有1+2+3+5=11，
即存在著下面四個(gè)數(shù)
101，101×2，101×3，101×5，
它們的和恰好是
101×（1+2+3+5）=101×11=1111，
它們的最大公約數(shù)為101．
所以101為所求．
答：它們的最大公約數(shù)最大能是101．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用求一個(gè)數(shù)的約數(shù)的方法以及幾個(gè)數(shù)的和與它們最大公約數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)行分析探討得出結(jié)論．