Question

劉老師在一節(jié)數(shù)學(xué)課上布置了一道數(shù)學(xué)題：

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

255

256

．有同學(xué)用通分算出了結(jié)果，但太麻煩．我們做一個(gè)有趣的活動(dòng)，如圖所示；把面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為

1

2

的矩形，并把其中一個(gè)矩形等分成兩個(gè)面積為

1

4

的矩形，如此下去…，請(qǐng)你根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算：
①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=

255

256

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=

1023

1024

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=

1-

1

2n

．

Answer 1

分析：分析圖形中的數(shù)據(jù)可知：

1

2

=1-

1

2

，

1

2

+

1

4

=1-

1

4

，

1

2

+

1

4

+

1

8

=1-

1

8

，所以規(guī)律為

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

；由此規(guī)律直接計(jì)算即可．

解答：解：①

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

256

=1-

1

256

=

255

256

．

②

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

1024

=1-

1

1024

=

1023

1024

．

③

1

2

+

1

4

+

1

8

+

1

16

+…+

1

2n

=1-

1

2n

；
故答案為：

255

256

；

1023

1024

；1-

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：此題注意每次分割都是分兩份，求若干個(gè)矩形的面積和也可以換個(gè)方法思考，用減法簡(jiǎn)單地計(jì)算出來．