Question

有兩個數(shù)，一個有9個約數(shù)，一個有10個約數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是2800，求這兩個數(shù)分別是多少？

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：

分析：先把最小公倍數(shù)是2800分解質(zhì)因數(shù)，2800=2⁴×5²×7，根據(jù)“一個有9個約數(shù)，”它的約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，說明它是一個完全平方數(shù)；又可知這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：9=3×3=（2+1）×（2+1）；所以這個數(shù)是2²×5²=4×25=100；同理，根據(jù)“一個有10個約數(shù)，”可知這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：10=2×5=（1+1）×（4+1），所以這個數(shù)是2⁴×7¹=16×7=112，據(jù)此解答．

解答： 解：2800=2⁴×5²×7，
設(shè)第一個數(shù)是N，第二個數(shù)是M，
因為N它的約數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，說明它是一個完全平方數(shù)；則它的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：
9=3×3=（2+1）×（2+1）；
所以這個數(shù)是：N=2²×5²=4×25=100；
同理，M的質(zhì)因數(shù)的指數(shù)加1的積是：
10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以這個數(shù)是：M=2⁴×7¹=16×7=112；
答：這兩個數(shù)分別是100和112．

點評：此題是數(shù)論中的約數(shù)個數(shù)問題；即一個合數(shù)的約數(shù)個數(shù)的計算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則N的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個約數(shù)．