Question

一個(gè)自然數(shù)恰好有18個(gè)約數(shù)，那么它最多有

 

個(gè)約數(shù)的個(gè)位是3．

Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理

專題：數(shù)的整除

分析：根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)的公式反推，①：18=2×3×3=（1+1）×（2+1）×（2+1），這個(gè)自然數(shù)可能是M×N²×K²的形式；②：18=3×6=（2+1）×（5+1），這個(gè)自然數(shù)可能是MM²×N⁵的形式；然后進(jìn)行分析，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答： 解：根據(jù)因數(shù)個(gè)數(shù)的公式反推，情況一：
18=2×3×3=（1+1）×（2+1）×（2+1），這個(gè)自然數(shù)可能是M×N²×K²的形式；
則使其個(gè)位含3的因數(shù)最多的可能是：M是個(gè)位為3的質(zhì)數(shù)、N是個(gè)位為1的質(zhì)數(shù)、K是個(gè)位為1的質(zhì)數(shù)，
則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)有：（2+1）×（2+1）=9個(gè)；
情況二：18=3×6=（2+1）×（5+1）
這個(gè)自然數(shù)可能是MM²×N⁵的形式；
則使其個(gè)位含3的因數(shù)最多的可能是：M是個(gè)位為3的質(zhì)數(shù)、N是個(gè)位為1的質(zhì)數(shù)，則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)有5+1=6個(gè)；粗略考慮其他情況如：7的3次方尾數(shù)為3等，均使得M、N可用的冪次數(shù)大大下降，則個(gè)位含3的因數(shù)個(gè)數(shù)無法超過2×4、3×3的情況，即不會(huì)比9多．
綜上，一個(gè)自然數(shù)恰好有18個(gè)因數(shù)，最多有9個(gè)因數(shù)個(gè)位是3．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了約數(shù)個(gè)數(shù)及約數(shù)和定理，利用因數(shù)的個(gè)數(shù)公式進(jìn)行反推，是解答此類題的一個(gè)重要方法．