Question

有一串分?jǐn)?shù)：

1

1

；

1

2

、

2

2

、

1

2

；

1

3

、

2

3

、

3

3

、

2

3

、

1

3

；

1

4

、

2

4

、

3

4

、

4

4

、

3

4

、

2

4

、

1

4

；…在這串分?jǐn)?shù)中，

10

10

是第

91

個(gè)分?jǐn)?shù)，第2012個(gè)分?jǐn)?shù)是

14

45

．

Answer 1

分析：（1）分母是1的分?jǐn)?shù)有1個(gè)，分子是1；
分母是2的分?jǐn)?shù)有3個(gè)，分子是1，2，1；
分母是3的分?jǐn)?shù)有5個(gè)，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分?jǐn)?shù)有7個(gè)；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7…，當(dāng)分母是n時(shí)有2n-1個(gè)分?jǐn)?shù)；由此求出從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是9的分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)；
分子是自然數(shù)，先從1增加，到分子變?yōu)?0共有10個(gè)，分別求出后相加即可．
（2）根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和n（n+1）÷2，先求出和為2012是此串分?jǐn)?shù)中的第幾個(gè)分?jǐn)?shù)，進(jìn)而求出第2012個(gè)分?jǐn)?shù)是幾．

解答：解：（1）分母是9的分?jǐn)?shù)一共有；
2×9-1=17（個(gè)）；
從分母是1的分?jǐn)?shù)到分母是9的分?jǐn)?shù)一共：
1+3+5+7+…+17，
=（1+17）×9÷2，
=18×9÷2，
=81（個(gè)）；
當(dāng)分母是10時(shí)，分子先從1增加，到分子變?yōu)?0共有10個(gè)，所以總共有81+10=91（個(gè)）；
（2）
1+3+5+7+…+2n-1=2012-76，
（1+2n-1）n÷2=2012-76，
解得：n=44，
按此規(guī)律可以計(jì)算出第2012個(gè)分?jǐn)?shù)是

14

45

．
故答案為：91，

14

45

．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題需要找出分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的規(guī)律，還要找出分子的變化規(guī)律，每個(gè)真分?jǐn)?shù)都出現(xiàn)兩次，先求前9個(gè)有同樣規(guī)律的，然后再上10即可．
（2）關(guān)鍵是根據(jù)給出的數(shù)列，歸納總結(jié)出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問(wèn)題．