Question

一個(gè)農(nóng)民牽著一頭牛從甲地到乙地去放牧，從甲地到乙地有兩條路，第一條路是一個(gè)大半圓，第二條路是兩個(gè)不同小半圓（如圖1）．
（1）比較第一條路和第二路路程的長(zhǎng)短，說明理由；
（2）在乙地有一個(gè)邊長(zhǎng)為12m的正方形池塘，若要在正方形池塘內(nèi)修建一個(gè)圓形水池，若保證圓形水池面積最大時(shí)，求這個(gè)圓形水池的面積；
（3）若正方形池塘的周圍是草地，池塘邊A、B、C、D處各有一棵樹，且AB=BC=CD=3m（如圖2），現(xiàn)用長(zhǎng)4m的繩子將這頭牛拴在其中的一棵樹上，為了使牛在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在A、B、C、D的哪一處？要求說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)兩個(gè)小半圓的直徑分別是x、y，則大半圓的直徑就是x+y，據(jù)此利用圓的周長(zhǎng)公式分別求出它們的路程即可解答問題；
（2）由題意知，在正方形內(nèi)面積最大的圓形，其直徑就等于正方形的邊長(zhǎng)，即圓形水池的底面直徑是12米，；要求這個(gè)圓形的面積，可利用圓面積公式S=πr²求得即可．
（3）分別把A、B、C、D這四個(gè)點(diǎn)為圓心的扇形面積算出來，再進(jìn)行比較即可求解．

解答：解：（1）用x、y分別表示兩個(gè)小半圓的直徑，則大圓的直徑就是x+y，
所以第一條路的長(zhǎng)度是：πx+πy=π（x+y），
第二條路的長(zhǎng)度是：π（x+y），
答：這兩條路的長(zhǎng)度相等．

（2）12÷2=6（米），
3.14×6²=113.04（平方米），
答：這個(gè)圓形水池的占地面積是113.04平方米．


（3）①S_A=

1

2

π×4²+

1

4

×π×1²=

33

4

π；
②S_B=

3

4

π×4²=12π；
③S_C=

1

2

π×4²+

1

4

×π×1²=

33

4

π；
④S_D=

1

2

π×4²=8π，
12π＞

33

4

π＞8π；
答：為了使牛在草地上活動(dòng)區(qū)域的面積最大，應(yīng)將繩子拴在B處．

點(diǎn)評(píng)：（1）此題主要考查圓的周長(zhǎng)公式的計(jì)算應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是用x、y表示出大圓的直徑．
（2）解答此題要明確：在正方形內(nèi)面積最大的圓，其直徑就等于正方形的邊長(zhǎng)．
（3）主要考查了扇形的面積計(jì)算．這個(gè)公式要牢記，面積公式：S=

nπr2

360

．