(2003•天津)已知,如圖⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)A,BC是⊙O1和⊙O2的公切線,B、C為切點(diǎn).
(1)求證:AB⊥AC;
(2)若r1、r2分別為⊙O1、⊙O2的半徑,且r1=2r2.求的值.

【答案】分析:(1)過點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于點(diǎn)O,再利用切線的性質(zhì),證明OA=OB=OC即可;
(2)連續(xù)OO1、OO2與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,先利用切線的性質(zhì)證明四邊形OEAF是矩形;
再利用三角形的形似、直角三角形的特點(diǎn)和三角函數(shù)求出的值.
解答:(1)證明:過點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于點(diǎn)O.
∵OA、OB是⊙O1的切線,
∴OA=OB.
同理OA=OC,
∴OA=OB=OC.
于是△BAC是直角三角形,∠BAC=90°,
所以AB⊥AC.

(2)解:連接OO1、OO2與AB、AC分別交于點(diǎn)E、F.
∵OA、OB是⊙O1的切線.
∴OO1⊥AB,
同理OO2⊥AC.
根據(jù)(1)的結(jié)論AB⊥AC,可知四邊形OEAF是矩形,有∠EOF=90°.
連接O1O2,有OA⊥O1O2.在Rt△O1OO2中,有Rt△O1AO∽Rt△OAO2,
,
于是OA2=O1A•O2A=r1•r2=2r22
∴OA=r2,
又∵∠ACB是⊙O2的弦切角,
∴∠ACB=∠AO2O.
在Rt△OAO2中,tan∠AO2O=,
=tan∠ACB=tan∠AO2O=
點(diǎn)評:本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,全等三角形的判定、圖形的平移變換等多個(gè)知識點(diǎn).
練習(xí)冊系列答案
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(2)求證:α≤1≤β;
(3)若以α、β為坐標(biāo)的點(diǎn)M(α、β)在△ABC的三條邊上運(yùn)動,且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(,1),C(1,1),問是否存在點(diǎn)M,使p+q=?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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