Question

有12個(gè)砝碼，重量都是整數(shù)克（允許有相同的重量），用它們可以稱出重為整數(shù)克并且不超過(guò)2007克的所有物體的重量（稱物體重量時(shí)，砝碼放在天平的右盤，物體放在天平的左盤），這12個(gè)砝碼中最重的一個(gè)最少是多少克？

Answer 1

分析：由于1+2=3=2×2-1，能稱出不超過(guò)3克的所有整數(shù)克，1+2+4=7=2×4-1，能稱出不超過(guò)7克的所用重量，1+2+4+8=15=2×8-1，能稱出不超過(guò)15克的所有重量…，可以發(fā)現(xiàn)它有個(gè)規(guī)律，因?yàn)橐�表示出所有整�?shù)，所以當(dāng)所有砝碼之和還沒(méi)表示完，就需要加一個(gè)砝碼，并且比所有砝碼之和大1，才能將那個(gè)整數(shù)表示出來(lái)，比如，1+2+4+8=15，16無(wú)法表示，就加一個(gè)16克的砝碼就行．1+2+4+…+1024=2×1024-1=2047，只用了11個(gè)砝碼，超過(guò)了2007．那就把最重的512，1024克拿出來(lái)，分成3個(gè)，現(xiàn)在只剩下9個(gè)砝碼，最多稱重：1+2+4+8+…+256=2×256-1=511克，（2007-511）÷3=498…2，所以最重的砝碼，最少為：498+1=499克12個(gè)砝碼為：1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，499，499．

解答：解：由于1+2=3=2×2-1，能稱出不超過(guò)3克的所有整數(shù)克，
1+2+4=7=2×4-1，能稱出不超過(guò)7克的所用重量，
1+2+4+8=15=2×8-1，能稱出不超過(guò)15克的所有重量…；
而1+2+4+…+1024=2×1024-1=2047，只用了11個(gè)砝碼，超過(guò)了2007．
可把最重的512，1024克拿出來(lái)，分成3個(gè)，現(xiàn)在只剩下9個(gè)砝碼，最多稱重：
1+2+4+8+…+256=2×256-1=511克，
（2007-511）÷3=498…2，所以最重的砝碼，最少為：498+1=499克，
12個(gè)砝碼為：1，2，4，8，16，32，64，128，256，498，499，499．
答：這12個(gè)砝碼中最重的一個(gè)最少是499克．

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)試加法發(fā)現(xiàn)要表示出所有整數(shù)，所以當(dāng)所有砝碼之和還沒(méi)表示完，就需要加一個(gè)砝碼，并且比所有砝碼之和大1，才能將那個(gè)整數(shù)表示出來(lái)這個(gè)規(guī)律是完成本題的關(guān)鍵．