Question

下列m個整數(shù)中恰有69個不同的整數(shù)，問自然數(shù)m的最小值和最大值分別是多少？
[

2009+1

1

]，[

2009+2

2

]，[

2009+3

3

]，…，[

2009+m

m

]．

Answer 1

考點：最大與最小,高斯取整

專題：競賽專題,數(shù)性的判斷專題

分析：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要確定[

2009

m

]的值即可．
做帶余除法：2009÷m=k…r（k為整數(shù)），可以發(fā)現(xiàn)：當m取1-47時，k的值都是一一對應(yīng)，相互不同的；當m取48和49時，k的值都是41，此時第一次出現(xiàn)重復；此后，若m再增大，k就會減少，故k下一個不同的值應(yīng)為40，再下一個為39，…也就是說，第48個商為41，那么第69個商應(yīng)用41-（6948）=20．因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值與最小值即可．

解答： 解：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要確定[

2009

m

]的值即可．
做帶余除法：2009÷m=k…r（k為整數(shù)），可以發(fā)現(xiàn)：
當m取1-47時，k的值都是一一對應(yīng)，相互不同的；
當m取48和49時，k的值都是41，此時第一次出現(xiàn)重復；
此后，若m再增大，k就會減少，故k下一個不同的值應(yīng)為40，再下一個為39，…
也就是說，第48個商為41，那么第69個商應(yīng)用41-（6948）=20．
因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值與最小值即可．
因為2009÷100=20…9，2009÷101=19…90，即m的最大值為100；
因為2009÷95=21…14，2009÷96=20…89，即m的最小值為96．
答：自然數(shù)m的最小值是96，最大值是100．

點評：此題運用了帶余除法以及數(shù)論結(jié)合的方法解決問題．