Question

下列m個(gè)整數(shù)中恰有69個(gè)不同的整數(shù)，問(wèn)自然數(shù)m的最小值和最大值分別是多少？
[

2009+1

1

]，[

2009+2

2

]，[

2009+3

3

]，…，[

2009+m

m

]．

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小,高斯取整

專題：競(jìng)賽專題,數(shù)性的判斷專題

分析：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要確定[

2009

m

]的值即可．
做帶余除法：2009÷m=k…r（k為整數(shù)），可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)m取1-47時(shí)，k的值都是一一對(duì)應(yīng)，相互不同的；當(dāng)m取48和49時(shí)，k的值都是41，此時(shí)第一次出現(xiàn)重復(fù)；此后，若m再增大，k就會(huì)減少，故k下一個(gè)不同的值應(yīng)為40，再下一個(gè)為39，…也就是說(shuō)，第48個(gè)商為41，那么第69個(gè)商應(yīng)用41-（6948）=20．因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值與最小值即可．

解答： 解：由于[

2009+m

m

]=[

2009

m

]+1，故只要確定[

2009

m

]的值即可．
做帶余除法：2009÷m=k…r（k為整數(shù)），可以發(fā)現(xiàn)：
當(dāng)m取1-47時(shí)，k的值都是一一對(duì)應(yīng)，相互不同的；
當(dāng)m取48和49時(shí)，k的值都是41，此時(shí)第一次出現(xiàn)重復(fù)；
此后，若m再增大，k就會(huì)減少，故k下一個(gè)不同的值應(yīng)為40，再下一個(gè)為39，…
也就是說(shuō)，第48個(gè)商為41，那么第69個(gè)商應(yīng)用41-（6948）=20．
因此，只要找到2009÷m=20…r中，m的最大值與最小值即可．
因?yàn)?009÷100=20…9，2009÷101=19…90，即m的最大值為100；
因?yàn)?009÷95=21…14，2009÷96=20…89，即m的最小值為96．
答：自然數(shù)m的最小值是96，最大值是100．

點(diǎn)評(píng)：此題運(yùn)用了帶余除法以及數(shù)論結(jié)合的方法解決問(wèn)題．