Question

小明往一個大池里扔石子，第一次扔1個石子，第二次扔2個石子，第三次扔3個石子，第四次扔4個石子…，他準(zhǔn)備扔到大池的石子總數(shù)被106除，余數(shù)是0止，那么小明應(yīng)扔

52

次．

Answer 1

分析：由題意可知，本題是一個等差數(shù)列高斯求和的題，欲求應(yīng)扔石頭的次數(shù)，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，我們可設(shè)應(yīng)扔n次，那么根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為：1+2+3+…+n=

1

2

n×（n+1）．依題意知，

1

2

n×（n+1）能被106整除，因此可設(shè)

1

2

n×（n+1）=106a，（a為106的整數(shù)倍）即n×（n+1）=212a，把212分解質(zhì)因數(shù)得：212a=2×2×53a根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù)，可知2×2×a=52（或54）．當(dāng)2×2×a=52時，a=13．當(dāng)2×2×a=54時，a=13

1

2

，a不是整數(shù)，不符合題意舍去．因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），即n=52，所以小明應(yīng)扔52次．

解答：解：設(shè)小明應(yīng)扔n次，根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為，
1+2+3++n=

1

2

n×（n+1），
依題意知，

1

2

n×（n+1）能被106整除，因此可設(shè)

1

2

n×（n+1）=106a，
即n×（n+1）=212a，
又212a=2×2×53a，根據(jù)n與n+1為兩個相鄰的自然數(shù)，可知2×2×a=52（或54）．
當(dāng)2×2×a=52時，a=13．
當(dāng)2×2×a=54時，a=13

1

2

，a不是整數(shù)，不符合題意舍去．
因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），
所以n=52，小明應(yīng)扔52次．
故答案為：52．

點(diǎn)評：本題是一個難度較高的等差數(shù)列高斯求和題，解題關(guān)鍵是運(yùn)用高斯求和公式，把數(shù)列的和表示為106的整數(shù)倍．