Question

冬冬往一個(gè)水池里扔石子．第一次扔l顆石子，第二次扔2顆石子，第三次扔3顆石子，第四次扔4顆石子…他準(zhǔn)備扔到水池的石子總數(shù)是106的倍數(shù)．請(qǐng)問(wèn)：冬冬最少需要扔多少次？

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：整除性問(wèn)題

分析：由題意可知，本題是一個(gè)等差數(shù)列高斯求和的題，欲求應(yīng)扔石頭的次數(shù)，即數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，我們可設(shè)應(yīng)扔n次，那么根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為：1+2+3+…+n=

1

2

×（n+1）．依題意知，

1

2

×（n+1）能被106整除，因此可設(shè)

1

2

×（n+1）=106a，（a為106的整數(shù)倍）即n×（n+1）=212a，把212分解質(zhì)因數(shù)得：212a=2×2×53a根據(jù)n與n+1為兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，可知2×2×a=52（或54）．當(dāng)2×2×a=52時(shí)，a=13．當(dāng)2×2×a=54時(shí)，a=13

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2

，a不是整數(shù)，不符合題意舍去．因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），即n=52，所以冬冬應(yīng)扔52次．

解答： 解：設(shè)冬冬應(yīng)扔n次，根據(jù)高斯求和可求出所扔石子總數(shù)為，
1+2+3++n=

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×（n+1），
依題意知，

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2

×（n+1）能被106整除，因此可設(shè)

1

2

×（n+1）=106a，
即n×（n+1）=212a，
又212a=2×2×53a，根據(jù)n與n+1為兩個(gè)相鄰的自然數(shù)，可知2×2×a=52（或54）．
當(dāng)2×2×a=52時(shí)，a=13．
當(dāng)2×2×a=54時(shí)，a=13

1

2

，a不是整數(shù)，不符合題意舍去．
因此，n×（n+1）=52×53=52×（52+1），
所以n=52，冬冬應(yīng)扔52次．
答：冬冬最少需要扔52次．

點(diǎn)評(píng)：解題此題的關(guān)鍵是運(yùn)用高斯求和公式，把數(shù)列的和表示為106的整數(shù)倍．