Question

現(xiàn)有四種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在三棱柱ABC-A₁B₁C₁各頂點(diǎn)上裝一個(gè)燈泡，要求同一條棱兩端點(diǎn)的燈泡顏色不相同，且每種顏色的燈泡都至少有一個(gè)，安裝方法共有多少種？

Answer 1

考點(diǎn)：排列組合

專題：可能性

分析：根據(jù)題意，分3步進(jìn)行，第一步，為A、B、C三點(diǎn)選燈泡的顏色，由排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目，第二步，在A₁、B₁、C₁中選一個(gè)裝第4種顏色的燈泡，第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，分類討論可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．

解答： 解：根據(jù)題意，每種顏色的燈泡都至少用一個(gè)，
即用了四種顏色的燈進(jìn)行安裝，分3步進(jìn)行，
第一步，為A、B、C三點(diǎn)選三種顏色燈泡共有A₄³種選法；
第二步，在A₁、B₁、C₁中選一個(gè)裝第4種顏色的燈泡，有3種情況；
第三步，為剩下的兩個(gè)燈選顏色，
假設(shè)剩下的為B₁、C₁，若B₁與A同色，
則C₁只能選B點(diǎn)顏色；若B₁與C同色，
則C₁有A、B處兩種顏色可選．
故為B₁、C₁選燈泡共有3種選法，
即剩下的兩個(gè)燈有3種情況，
則共有A₄³×3×3=216種方法．
答：安裝方法共有216種．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，排列、組合在計(jì)數(shù)中的應(yīng)用，合理分類，恰當(dāng)分步是解決本題的關(guān)鍵．