【題目】如圖,正方形所在平面與四邊形所在平面互相垂直, 是等腰直角三角形, , , .
(1)求證: 平面;
(2)設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為,求異面直線(xiàn)與所成角的正弦值;
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2) (3) 45°
【解析】試題分析:
(1)要證明線(xiàn)面垂直,就要證線(xiàn)線(xiàn)垂直,由面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面ABEF,從而有AB⊥EF.又由平幾知識(shí)得EF⊥EB,從而可得線(xiàn)面垂直,也即得面面垂直;
(2)求異面直線(xiàn)所成的角,一般要作出這個(gè)角,為此取BE中點(diǎn)N,可證MN與PC平行且相等,從而得平行四邊形,有PM與CN平行,因此只要在中求出的正弦值即可;
(3)求二面角E-BC-D,就要找到它的平面角,由(1)的證明知∠EBA就是所要作的平面角,這個(gè)角是45°,因此二面角為45°.
試題解析:
(1)因?yàn)槠矫?/span>ABEF⊥平面ABCD,BC平面ABCD,BC⊥AB,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以BC⊥平面ABEF.所以BC⊥EF.
因?yàn)椤?/span>ABE為等腰直角三角形,AB=AE,
所以∠AEB=45°又因?yàn)椤?/span>AEF=45°,
所以∠FEB=45°+45°=90°,即EF⊥BE.
因?yàn)?/span>BC平面BCE,BE平面BCE,BC∩BE=B,所以EF⊥平面BCE.
(2)取BE的中點(diǎn)N,連結(jié)CN,MN,
則且,
所以PMNC為平行四邊形,所以PM∥CN.
所以∠NCB為PM與BC所成角(或其補(bǔ)角)
正方形ABCD所在平面與四邊形ABEF所在平面互相垂直,△ABE是等腰直角三角形,AB=AE,設(shè)AE=a,BN= .BC=a,所以NC= ,在直角三角形NBC中, .
(3)由(1)知BC⊥平面ABEF.所以BC⊥AB, BC⊥EB, 因此,∠EBA為二面角E﹣BC﹣D的平面角.又因△ABE是等腰直角三角形,所以∠EBA=45°
故二面角E﹣BC﹣D的大小為45°.
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(1)這個(gè)三角形的第3個(gè)角是 度.
(2)以AB為底,畫(huà)出三角形的高,并量出底和高.底是 厘米,高是 厘米.(結(jié)果保留一位小數(shù).)
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