Question

3個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是完全平方數(shù)，將這樣的連續(xù)3個正整數(shù)的乘積稱為“美妙數(shù)”，問所有的“美妙數(shù)”的最大公約數(shù)是多少？（第九屆華杯賽）

Answer 1

①任何三個連續(xù)正整數(shù)，必有一個能為3整除．所以，任何“美妙數(shù)”必有因子3．
②若三個連續(xù)正整數(shù)中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個數(shù)是偶數(shù)，所以任何“美妙數(shù)”必有因子4．
③完全平方數(shù)的個位只能是1、4、5、6、9和0，若其個位是5和0，則中間的數(shù)必能被5整除，若其個位是1和6，則第一個數(shù)必能被5整除，若其個位是4和9，則第三個數(shù)必能被5整除．所以，任何“美妙數(shù)”必有因子5．
④上述說明“美妙數(shù)”都有因子3、4、和5，也就有因子60，即所有的美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60．
另一方面，60=3×4×5，3、4、5是一個“美妙數(shù)”，美妙數(shù)的最大公約至多是60．
答：所有的美妙數(shù)的最大公約數(shù)只能是60．