Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

．
（1）解不等式：1-

1

f(x)

＞

1

4x-1

；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

Answer 1

考點(diǎn)：不等方程的分析求解

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：（1）把f（x）=

2x+1

2x-1

代入得到不等式，然后化簡為：2＞

1

2x-1

，所以x為任意實(shí)數(shù)且x≠0
（2）在（-∞，0）上任取兩本不同的量，判斷函數(shù)值的大小，函數(shù)值隨著自變量的增大而減小時(shí)，我們稱該函數(shù)為減函數(shù)，否則為增函數(shù)．據(jù)此解答即可．

解答： 解：因?yàn)椋?br />函數(shù)f（x）=

2x+1

2x-1

（1）所以：
1-

1

f(x)

＞

1

4x-1

1-

2x-1

2x+1

＞

1

4x-1

2

2x+1

＞

1

2x-1

×

1

2x+1

因?yàn)?span id="wq1cspq" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2x+1

＞0
所以：
2＞

1

2x-1

所以x為任意實(shí)數(shù)且x≠0
（2）設(shè)0＞a＞b
則：f（a）-f（b）
=

2a+1

2a-1

-

2b+1

2b-1

=（

2b+1

2a-1

-

2a+1

2a-1

）

1

2b-1

因?yàn)?＞a＞b
所以2^b+1＜2^a+1＜1
故此（2^a-1）（2^b-1）＞0
所以：f（a）-f（b）＜0
所以f（a）＜f（b）
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不能是的解法及其判斷函數(shù)的單調(diào)性：函數(shù)值隨著自變量的增大而減小時(shí)，我們稱該函數(shù)為減函數(shù)，否則為增函數(shù)．