Question

設(shè)n是小于50的自然數(shù)，那么使得4n+5和7n+6有大于1的公約數(shù)的所有n的可能值之和為

94

．

Answer 1

分析：此題可以通過(guò)設(shè)公約數(shù)這個(gè)參數(shù)，將參數(shù)值求出，進(jìn)而得出n的值．

解答：解：設(shè)4n+5和7n+6的公約數(shù)為k
則（4n+5）÷k為整數(shù)，（7n+6）÷k為整數(shù)，
為了作差后消去n，則左邊的式子乘上7，右邊的式子乘上4，結(jié)果還是都為整數(shù)，
 則[7（4n+5）-4（7n+6）]÷k=11÷k為整數(shù)，
因?yàn)閗≠1，則11÷k為整數(shù)時(shí)k只能為11，即兩代數(shù)式大于1個(gè)公約數(shù)為11，
 又因?yàn)閇2（4n+5）-（7n+6）]÷k為整數(shù)，[這里（4n+5）乘上2來(lái)作差是為了讓n的系數(shù)變?yōu)?方便篩選]
代入k=11，有（n+4）÷11為整數(shù)
因?yàn)閚＜50
則n=7，18，29，40．
7+18+29+40=94．
故所有n的可能值之和為94．
故答案為：94．

點(diǎn)評(píng)：考查了公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題，此題關(guān)鍵是設(shè)公約數(shù)這個(gè)參數(shù)．