在6×6的正方形棋盤格中,請?zhí)钌?~36這36個(gè)自然數(shù),使得在任意的(a),(b),(c),(d)四種形狀的圖形中,放置的四個(gè)數(shù)的和都是偶數(shù).若能,請?zhí)畛鲆焕;若不能,請說明理由.
分析:利用反證法,假設(shè)放置的四個(gè)數(shù)的和都是偶數(shù)這種填數(shù)方法存在,然后根據(jù)4個(gè)數(shù)字的和是偶數(shù),進(jìn)行逐步找出矛盾.
解答:解:假設(shè)題設(shè)的填數(shù)法存在,那么在如右圖的十字型中,由(a)有a1+a2+a3+a4是偶數(shù);由(c)有a1+a3+a4+a5是偶數(shù),
(a)與(c)相減得a2-a5是偶數(shù),即a2,a5的奇偶性相同.
同理可得a1與a2的奇偶性相同.a(chǎn)4與a5的奇偶性相同.
因此a1,a2,a4,a5的奇偶性相同.
在這種情況下,a3與a1,a2,a4,a5的奇偶性也相同.
這樣一來,在6×6的正方形棋盤中,除去4個(gè)角上的小方格外,至少有32個(gè)數(shù)的奇偶性相同.
但1~36這36個(gè)自然數(shù),只有18個(gè)奇數(shù),18個(gè)偶數(shù).矛盾.
所以題設(shè)要求的填數(shù)法不存在.
點(diǎn)評:解決本題利用反證法,找出這個(gè)6×6的方格中需要奇偶性相同數(shù)的個(gè)數(shù),然后得出矛盾進(jìn)而得以證明.
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