Question

16．1-2014這2014個(gè)數(shù)按逆時(shí)針的順序排在一個(gè)圓上，從1開始，保留1消除2，保留3消除4，按這樣的順序每隔一個(gè)數(shù)消去一個(gè)數(shù)．
（1）如果由1-8這8個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是1；
（2）如果由1-16這16個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是1；
（3）如果有1-9這9個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是7；
（4）如果有1-35這35個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是7；
（5）有2014個(gè)人，請(qǐng)問你站在第幾位是最后剩下的那個(gè)，請(qǐng)說(shuō)明方法和理由．

Answer 1

分析 如果依照題意在上圖中進(jìn)行操作，直到剩下一個(gè)數(shù)為止，實(shí)在是很困難的．還應(yīng)從最簡(jiǎn)單的情況入手分析，歸納出解決問題的規(guī)律，再用此規(guī)律解題．
如果是2個(gè)數(shù)1，2，最后剩下1；如果是3個(gè)數(shù)1，2，3，最后剩下3；如果是4個(gè)數(shù)1，2，3，4，最后剩下1；如果是5個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6個(gè)數(shù)1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1-7，7個(gè)數(shù)，最后剩下7；如果是1-8，8個(gè)數(shù)，最后剩下1．發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)是2，4，8時(shí)，最后剩下的都是1．實(shí)際上，當(dāng)數(shù)的個(gè)數(shù)為2ⁿ時(shí)（n≥2），當(dāng)消去一圈后還剩2^n-1個(gè)數(shù)，把問題化成2^n-1個(gè)數(shù)的情況．不斷作下去，最后化為2個(gè)數(shù)的情況，顯然最后剩下的數(shù)為1（1為起始數(shù)）．

解答 解：（1）如果由1-8這8個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是 1；
（2）如果由1-16這16個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是 1；
（3）如果有1-9這9個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是 7；
（4）如果有1-35這35個(gè)數(shù)，那么最后的那個(gè)數(shù)是 7
（5）由于2¹⁰=1024，2¹¹=2048，2¹⁰＜2014＜2¹¹，
2014-1024=990．
這就是說(shuō)，要剩2¹⁰個(gè)數(shù)，需要先消去990個(gè)數(shù)．按題意，每?jī)蓚�(gè)數(shù)消去一個(gè)數(shù)，當(dāng)消去第990個(gè)數(shù)時(shí)，最后消去的數(shù)是：990×2=1980．
下一個(gè)起始數(shù)是1981，所以，最后剩下的數(shù)應(yīng)是1981．
答：站在第1981位是最后剩下的那個(gè)．
故答案為：1，1，7，7．

點(diǎn)評(píng) 這類題目有一定的規(guī)律：如果數(shù)的個(gè)數(shù)是2ⁿ（n是自然數(shù)）個(gè)數(shù)，那么消一圈剩下2^n-1個(gè)數(shù)，消兩圈剩下2^n-2個(gè)數(shù)，…消n-1圈，就剩兩個(gè)數(shù)，再消一圈就是剩下安全的數(shù)．