Question

一只蝸牛和一只蚯蚓從圓上一點A同時出發(fā)，繞圓周相背而行，蝸牛爬第一圈需要6分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多1分鐘．蚯蚓爬第一圈需要5分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多4分鐘．在它們出發(fā)以后

90

分鐘，它們又在A點相遇．

Answer 1

分析：本題是一個難度較高的相遇問題．由題目的已知條件，不能直接求解出蝸牛和蚯蚓在A點相遇的時間．我們不妨設蝸牛爬行m圈后，蚯蚓爬行了n圈，它們正好在A點相遇．因為它們用的時間是相等的，由題意，可得一個二元方程式：
6m+

m(m-1)

2

=5n+2n（n-1）即

m2+11m

2

=2n²+3n．根據“蝸牛爬第一圈需要6分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多1分鐘．蚯蚓爬第一圈需要5分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多4分鐘”這個規(guī)律性的條件，用試代法，把m、n的值代入方程，可得蝸牛和蚯蚓各圈用時的兩列數據：
蝸�；氐紸點時間分別是6，13，21，30，40，51，63，76，90
蚯蚓回到A點時間分別是5，14，27，44，65，90
得當m=9，n=6時方程兩邊相等，都等于90．于是得解．

解答：解：由題目的已知條件，設蝸牛爬行m圈后，蚯蚓爬行了n圈，它們正好在A點相遇．因為它們用的時間是相等的，由題意，可得一個二元方程式：6m+

m(m-1)

2

=5n+2n（n-1）
    即 

m2+11m

2

=2n²+3n．
    根據：“蝸牛爬第一圈需要6分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多1分鐘．蚯蚓爬第一圈需要5分鐘，以后每爬一圈所需要的時間都比前一圈多4分鐘”這個規(guī)律性的條件，用試代法，把m、n的值代入方程
      可得蝸牛和蚯蚓各圈用時的兩列數據：
      蝸牛回到A點時間分別是6，13，21，30，40，51，63，76，90
      蚯蚓回到A點時間分別是5，14，27，44，65，90
   即，當m=9，n=6時方程兩邊相等，都等于90．
∴它們出發(fā)90分鐘后又在A點相遇．
   故填90．

點評：本題目類型的相遇問題，所給條件不足，但有特殊的規(guī)律可循，解題關鍵是找準規(guī)律，運用試代法、賦值法等來求解．要突破非要求解方程或直接求解的誤區(qū)．