Question

小華玩某種游戲，每局可隨意玩若干次，每次得分是8，a（自然數(shù)），0這三個數(shù)中的一個，每局各次得分的總和叫做這一局的總積分，小華曾得到過這樣的總積分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”這個總積分．問：a是多少？

Answer 1

分析：83+8×3=107，所以在得到總積分107時，得（8分）的局?jǐn)?shù)必定小于3（否則83=107-3×8可以得到），即得（8分）的局?jǐn)?shù)為0、1或2，從而107，107-1×8=99，107-2×8=91這三個數(shù)中必有一個是a的倍數(shù)．然后進(jìn)行驗(yàn)證，解決問題．

解答：解：83+8×3=107，所以在得到總積分107時，得（8分）的局?jǐn)?shù)必定小于3（否則83=107-3×8可以得到），即得（8分）的局?jǐn)?shù)為0、1或2，從而107，107-1×8=99，107-2×8=91這三個數(shù)中必有一個是a的倍數(shù)．
如果107是a的倍數(shù)，那么a=1或107，但a=1時，可以得到總積分83；a=107時，無法得到總積分103，所以這種情況不可能發(fā)生．
如果99是a的倍數(shù)，那么a=1，3，9，11，33，99．
因?yàn)?3=9×3+8×7=11+8×9，所以a不能是1，3，9，11（否則83可以得到）．
因?yàn)?03=99+14=33+70=2×33+37，所以a=99或33時，無法得到總分103．
因此這種情況也不可能發(fā)生．
如果91是a的倍數(shù)，那么a=1，7，13，91，因?yàn)?3=7×5+8×6，所以a≠7.1 103=91+12，所以a≠91．
因此a=13，不難驗(yàn)證a=13符合要求．

點(diǎn)評：此題也可這樣解答：
1．由于103到110連續(xù)八個自然數(shù)都是可得分?jǐn)?shù)，這八個數(shù)中，既有偶數(shù)，也有奇數(shù)，因此a必是奇數(shù)．
2．由于106=8×13+2，2=2×1
=8×12+10，10=2×5
=8×11+18，18=2×9=6×3
=8×10+26，26=2×13
=8×9+34，34=2×17
=8×8+42，42=2×21=6×7=14×3
=8×7+50，50=2×25=10×5
=8×6+58，58=2×29
=8×5+66，66=2×33=6×11=22×3
=8×4+74 74=2×37
=8×3+82，82=2×41
=8×2+90，90=2×45=6×15
=10×9=18×5=30×3
=8×1+98，98=2×49=14×7
=8×0+106，106=2×53．
因?yàn)?06是可得分?jǐn)?shù)，從上面的拆分來看，要湊出106，a應(yīng)是1、3、5、7、9、11、13、15、17、21、25、29、33、37、41、45、49、53中的某一個奇數(shù)．由于108=8×13+4，4=4×1
=8×12+12，12=4×3
=8×11+20，20=4×5
=8×10+28，28=4×7
=8×9+36，36=4×9
=8×8+44，44=4×11
=8×7+52，52=4×13
=8×6+60，60=4×15
=8×5+68，68=4×17
=8×4+76，76=4×19
=8×3+84，84=4×21
=8×2+92，92=4×23
=8×1+100，100=4×25
因?yàn)?08是可得分?jǐn)?shù)，從上面的拆分來看，要湊出108，a應(yīng)是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27中的某一個奇數(shù)．
結(jié)合上面的分析，要同時湊出106、108這兩個數(shù)，a只能是1、3、5、7、9、11、13、15、17、21這十個奇數(shù)中的某一個．由于83=8×10+3 3=3×1
=8×9+11，11=11×1
=8×8+19，19=19×1
=8×7+27，27=3×19=27×1
=8×6+35，35=5×7=35×1
=8×5+43，43=43×1
=8×4+51，51=3×17=51×1
=8×3+59，59=59×1
=8×2+67 67=67×1
=8×1+75，75=3×25=5×15=75×1
因?yàn)?3是不可得分?jǐn)?shù)，從上面的拆分來看，a不能是1、3、5、7、9、11、15、17、19、25、27、35、43、51、59、67、75這十七個奇數(shù)中的任何一個．結(jié)合上面的分析可知，a只能是13或21．
3．確定a
如果a=21，21是奇數(shù)，8和110都是偶數(shù)，所以用21和8湊110時，21應(yīng)取偶數(shù)個．因?yàn)?10-21×2=68，68÷8=8…4；110-21×4=26，26÷8=3…2；21×6＞110，所以，a≠21．
下面檢驗(yàn)a=13是否滿足題意．
由于103=8×8+3×13
104=8×13
105=8×5+5×13
106=8×10+2×13
107=8×2+7×13
108=8×7+4×13
109=8×12+1×13
110=8×4+6×13
因此，a=13是滿足題意的唯一的解．