Question

（2012?武漢模擬）如圖，兩個半徑相等的圓A和圓B相交，三角形BCD是等腰直角三角形，其面積為60cm²，四邊形ABCD是平行四邊形，求圖中陰影部分的面積．（π取3.14）

Answer 1

分析：ABCD是平行四邊形，三角形BCD是等腰直角三角形，所以三角形ABD也是等腰直角三角形，它的面積也是60平方厘米，由此可以求出每個圓半徑的平方是多少；陰影部分的面積是兩圓重合部分面積的一半，而重合部分由兩個相等的弓形組成，我們只需要求出一個弓形面積，就是要求的陰影面積了．連接圓心B和另一個兩圓的交點M，以及連接D和M，組成一個扇形；三角形DBM也是等腰直角三角形，那么∠DBA就是45°，一個弓形的圓心角就是90°，再求出圓心角是90°的扇形的面積減去三角形DBM的面積就是一個弓形的面積，也就是陰影部分的面積．

解答：解：連接圓心B和另一個兩圓的交點M，以及連接D和M，如圖：

陰影部分的面積是一個弓形的面積；
三角形BCD是等腰直角三角形，所以三角形ABD也是等腰直角三角形，它的面積也是60平方厘米，
圓的半徑BD的平方就是60×2=120（平方厘米）；
∠DBA=45°，
那么∠MBD=90°；
三角形MBD也是一個等腰直角三角形；
弓形DM的面積=扇形DBM的面積-三角形DBM的面積，

90°

360°

×（π×BD²）-

1

2

×BD²，
=

1

4

×（3.14×120）-

1

2

×120，
=94.2-60，
=34.2（平方厘米）；
答：陰影部分的面積是34.2平方厘米．

點評：連接圓心線，與圖中的半徑組成了等腰直角三角形，從而得出弓形所對的圓心角的度數(shù)是解決此類問題的關(guān)鍵．