Question

如果三個連續(xù)正整數(shù)，中間一個是平方數(shù)，將這樣的三個連續(xù)正整數(shù)的積叫做睿達數(shù)，那么所有小于2013的睿達數(shù)的最大公因數(shù)．

Answer 1

考點：完全平方數(shù)性質

專題：整除性問題

分析：根據(jù)題意可分析連續(xù)3個正整數(shù)里面必有一個數(shù)能被3、4和5整除，所以所得到的“睿達數(shù)”中必含有約數(shù)3、4和5，再將所有的公約數(shù)相乘就可求出最大公約數(shù)．

解答： 解：①任何三個連續(xù)正整數(shù)，必有一個能被3整除．所以，任何“睿達數(shù)”必有因數(shù)3．
②若三個連續(xù)正整數(shù)中間的數(shù)是偶數(shù)，它又是完全平方數(shù)，必定能為4整除；若中間的數(shù)是奇數(shù)，則第一和第三個數(shù)是偶數(shù)，所以任何“睿達數(shù)”必有因數(shù)4．
③完全平方數(shù)的個位只能是1、4、5、6、9和0，若其個位是5和0，則中間的數(shù)必能被5整除，若其個位是1和6，則第一個數(shù)必能被5整除，若其個位是4和9，則第三個數(shù)必能被5整除．所以，任何“睿達數(shù)”必有因數(shù)5．
④上述說明“睿達數(shù)”都有因數(shù)3、4、和5，也就有因數(shù)60，即所有的美妙數(shù)的最大公約數(shù)至少是60．
另一方面，60=3×4×5，60也是一個“睿達數(shù)”，美妙數(shù)的最大公約至多是60．
答：所有小于2013的睿達數(shù)的最大公約數(shù)只能是60．

點評：本題通過分析，找出美妙數(shù)的特點，從而找出最小的美妙數(shù)，再根據(jù)最大公因數(shù)的特點求解．