Question

有8個重量各不相同的物品，每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克．小平想以最少的次數(shù)用天平稱出其中最重的物品．他用了如下的測定法：
（1）把8個物品分成2組，每組4個，比較這2組的輕重；
（2）把以上2組中較重的4個再分成2組，即每組2個，再比較它們的輕重；
（3）把以上2組中較重的分成各1個，取出較重的1個．
小平稱了3次天平都沒有平衡，最后便得到一個物品．可是實際上得到的是這8個物品當中從重到輕排在第5的物品．問：小平找出的這個物品有多重？并求出第二輕的物品重多少克？

Answer 1

分析：設這8個物品的重量從重到輕依次排列為：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，因每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克．所以15≥a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6＞a7＞a8≥1．小平找出的這個物品重量為a5，第二輕的物品重量為a7．由于a5加上一個比它輕的物品不可能大于兩個比a5重的物品重量之和，因而第一次必須篩去3個比a5重的物品．據(jù)此可分情況進行討論．

解答：解：根據(jù)以上分析知，由于a5加上一個比它輕的物品不可能大于兩個比a5重的物品重量之和，這樣就有以下四種可能：（1）

a4+a5+a6+a7＞a1+a2+a3+a8    ① a5+a6＞a4+a7    ② a5＞a6                                                   ③

根據(jù)①式，a4比a1至少輕3克，a5比a2，a6比a3也都至少輕3克，則a7比a8至少重10克．如a8最小是1克，則a7最少重11克，a1最少重17克，與已知每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克矛盾．
（2）

a3+a5+a6+a7＞a1+a2+a4+a8     ① a5+a6＞a3+a7                            ② a5＞a6                                                   ③

根據(jù)①式，a3比a1至少輕2克，a5比a2至少輕3克，a6比a4也至少輕2克，則a7比a8至少重8克．如a8最小是1克，則a7最少重9克，根據(jù)②式，a5比a3至少輕2克，則a6比a7至少重3克．a6最少重12克，a1最少重17克，與已知每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克矛盾．
（3）

a2+a5+a6+a7＞a1+a3+a4+a8     ① a5+a6＞a2+a7     ② a5＞a6                                                   ③

根據(jù)①式，a2比a1至少輕1克，a5比a3至少輕2克，a6比a4也至少輕2克，則a7比a8至少重7克．如a8最小是1克，則a7最少重8克，根據(jù)②式，a5比a2至少輕3克，則a6比a7至少重4克．a6最少重11克，a1最少重16克，與已知每個物品的重量都是整克數(shù)且都不超過15克矛盾．
（4）

a1+a5+a6+a7＞a2+a3+a4+a8     ① a5+a6＞a1+a7     ② a5＞a6                                                   ③

根據(jù)①式，a1比a2至少重1克；a5比a3，a6比a4都至少輕2克，則a7比a8至少重4克．根據(jù)②式，a5比a1至少輕4克，則a6比a7至少重5克．a6最少重10克，a1最少重15克，符合題意，所以每個物品的重量是：
a1=15克，a2=14克，a3=13克，a4=12克，
a5=11克，a6=10克，a7=5克，a8=1克．
因此，小平找出的這個物品重11克，第二輕的物品重5克．
答：小平找出的這個物品重11克，第二輕的物品重5克．

點評：本題的關鍵是根據(jù)第五重的物品加上一個比它輕的物品不可能大于兩個比a5重的物品重量之和，因而第一次必須篩去3個比第五重的物品．然后分情況進行討論．