Question

正整數(shù)N滿足：

N

2

是一個(gè)整數(shù)的平方，

N

3

是一個(gè)整數(shù)的立方，

N

5

是一個(gè)整數(shù)的五次方，則N的最小值是

 

；（可以用次方表示）

Answer 1

考點(diǎn)：最大與最小

專題：數(shù)性的判斷專題

分析：因?yàn)?span id="zfrlhtf" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

N

2

是一個(gè)整數(shù)的平方，

N

3

是一個(gè)整數(shù)的立方，

N

5

是一個(gè)整數(shù)的五次方，因此能被2，3，5整除的數(shù)N=2^a×3^b×5^c，因?yàn)?span id="dbt5d91" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

N

2

是平方數(shù)，所以a是奇數(shù)，b，c是偶數(shù)，同理a、c是3的倍數(shù)，b被3除余數(shù)是1，a，b是5的倍數(shù)，c被5除余數(shù)是1，據(jù)此求出a、b、c的值，解決問題．

解答： 解：能被2，3，5整除的數(shù)N=2^a×3^b×5^c
因?yàn)?span id="xhpnlp7" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

N

2

是平方數(shù)，所以a是奇數(shù)，b，c是偶數(shù)，
同理a、c是3的倍數(shù)，b被3除余數(shù)是1，
a、b是5的倍數(shù)，c被5除余數(shù)是1
所以滿足這些條件的最小數(shù)是a=15，b=10，c=6
所以此數(shù)的最小值是2¹⁵×3¹⁰×5⁶．
故答案為：2¹⁵×3¹⁰×5⁶．

點(diǎn)評(píng)：此題解答的關(guān)鍵在于表示出能被2，3，5整除的數(shù)，通過討論、分析解決問題．