Question

將100!-5分別除以2，3，4，…，100，可以得到99個(gè)余數(shù)（余數(shù)有可能為0）．這99個(gè)余數(shù)的和是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：帶余除法

專題：余數(shù)問題

分析：設(shè)a÷b=c…d，a、b、c、d都是整數(shù)，則a=cb+d，d＜b；令a=100！-5 則100！=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，可得g=c+（d+5）÷b；因?yàn)間為整數(shù)，c為整數(shù)，所以d+5必為b的倍數(shù)，d＜b，且d≥0，然后分類討論，求出將100!-5分別除以2，3，4，…，100，得到的余數(shù)的情況，進(jìn)而求出這99個(gè)余數(shù)的和是多少即可．

解答： 解：設(shè)a÷b=c…d，a、b、c、d都是整數(shù)，
則a=cb+d，d＜b；
令a=100！-5
則100！=a+5=cb+d+5=b[c+（d+5）÷b]=bm，
可得g=c+（d+5）÷b；
因?yàn)間為整數(shù)，c為整數(shù)，
所以d+5必為b的倍數(shù)，d＜b，且d≥0，
所以可推得：
（1）除數(shù)b=2，d+5=6，則d=1，
（2）除數(shù)b=3，d+5=6，則d=1，
（3）除數(shù)b=4，d+5=8，則d=3，
（4）除數(shù)b=5，d+5=0，則d=0，
（5）除數(shù)b=6，d+5=6，則d=1，
當(dāng)b＞5時(shí)，余數(shù)d=b-5，
因此這99個(gè)余數(shù)的和為：
1+1+3+1+2+3…+95=5+95+（1+94）×47=4565．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了帶余除法問題的應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用．