Question

一個四位數(shù)能被3整除且至少含有一個數(shù)字6，這樣的四位數(shù)共有多少個？

Answer 1

考點：數(shù)的整除特征,2、3、5的倍數(shù)特征,排列組合

專題：整除性問題

分析：從1000到9999這9000個數(shù)中，共有3000個能被3整除的數(shù)，能被3整除且不含有數(shù)字6的四位數(shù)：
在最高位上，不能為0和6，因此有8種可能情況；在百、十位上不能為6，各有9種可能情況；
在個位上，不僅不能為6，還應使整個四位數(shù)被3整除，因此，所出現(xiàn)的數(shù)字應與前3位數(shù)字之和被3除的余數(shù)有關：當余數(shù)為0時，個位上可以為0，3，9中的一個；當余數(shù)為1時，個位上可為2，5，8中的一個；當余數(shù)為2時，個位上可為1，4，7中的一個；總之，不論前3位數(shù)如何，個位上都有3種可能情況，所以由乘法原理知，這類4位數(shù)個數(shù)為8×9×9×3=1944；由此即可求出被3整除且至少含有一個數(shù)字6的四位數(shù)．

解答： 解：從1000到9999這9000個數(shù)中，共有3000個能被3整除的數(shù)，
能被3整除且不含有數(shù)字6的四位數(shù)：在最高位上，不能為0和6，因此有8種可能情況；在百、十位上不能為6，各有9種可能情況；在個位上，不僅不能為6，還應使整個四位數(shù)被3整除，因此，所出現(xiàn)的數(shù)字應與前3位數(shù)字之和被3除的余數(shù)有關：
當余數(shù)為0時，個位上可以為0，3，9中的一個；
當余數(shù)為1時，個位上可為2，5，8中的一個；
當余數(shù)為2時，個位上可為1，4，7中的一個；
總之，不論前3位數(shù)如何，個位上都有3種可能情況，
所以由乘法原理知，這類4位數(shù)個數(shù)為：8×9×9×3=1944，
因此能被3整除且含有數(shù)字6的四位數(shù)有：3000-1944=1056（個）；
答：這樣的四位數(shù)共有1056個．

點評：此題考查了數(shù)的整除特征，明確能被3整除且不含有數(shù)字6的四位數(shù)的個數(shù)，是解答此題的關鍵．