Question

一根長為L的木棍，用紅色刻度線將它分成m等份，用黑色刻度將它分成n等份（m＞n）．
（1）設x是紅色與黑色刻度線重合的條數(shù)，請說明：x+1是m和n的公約數(shù)；
（2）如果按刻度線將該木棍鋸成小段，一共可以得到170根長短不等的小棍，其中最長的小棍恰有100根．試確定m和n的值．

Answer 1

分析：（1）首先構(gòu)造出被分成紅色刻度線將它分成m等份：A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

），用黑色刻度將它分成n等份為：B=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

n

）（1+

1

n

），計算出結(jié)果得出答案即可；
（2）由（1）得出的算式作差，利用整除的性質(zhì)得出m和n的整數(shù)解．

解答：解：①A=（1-

1

2

）（1+

1

2

）（1-

1

3

）（1+

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

m

）
=（1-

1

2

）（1-

1

3

）…（1-

1

m

）（1+

1

2

）（1+

1

3

）…（1+

1

m

）
=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

m-1

m

×

3

2

×

4

3

×…×

m+1

m

=

1

2

×

m+1

m

=

m+1

2m

；
同樣，可以得出B=

n+1

2n

；
所以x+1是m和n的公約數(shù)；
②由題設，A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，

1

m

-

1

n

=

1

13

，

1

m

=

1

n

+

1

13

=

13+n

13n

，
所以，m=

13n

13+n

=

13(n+13-13)

13+n

=13-

13×13

13+n

，
即13+n是13×13的因數(shù)，13×13只有3個因數(shù)：1，13，13²．所以，
13+n=13²，n=13²-13=156，m=12．
求出正整m，n的另一方法：
使A-B=

m+1

2m

-

n+1

2n

=

1

2m

-

1

2n

=

1

26

，

1

m

-

1

n

=

1

13

．
設m=Ka，n=Kb，（a，b）=1，代入上式，

1

Ka

-

1

Kb

=

b-a

Kab

=

1

13

．
（b-a）和a，b都互質(zhì)，一定整除K．記d=

K

a-b

是正整數(shù)，b＞a則有：

1

dab

=

1

13

．
由上式和b＞a，b=13，a=1，d=1．所以，K=12，m和n有唯一解，m=12，n=156．
符：m=12，n=156．

點評：解決此題的關(guān)鍵是構(gòu)造出等分的結(jié)果，利用結(jié)果的特點，找出解決問題的方法．