Question

從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)依次寫(xiě)成一個(gè)多位數(shù)：A=1234567891011…200920102011，則數(shù)字A除以9的余數(shù)是

1

．

Answer 1

分析：根據(jù)9的整除性可知，2011除以9的余數(shù)和2+1+1除以9的余數(shù)一樣，20102011除以9的余數(shù)和2+1+1+2+1的余數(shù)一樣，而2+1+1+2+1的余數(shù)和2011+2010的余數(shù)也是一樣，所以1234567891011…200920102011的余數(shù)和1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011的余數(shù)一樣，而1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011=2011×1006，而2011×1006的余數(shù)與2011和1006分別除以9后的余數(shù)的乘積除以9的余數(shù)相同，2011除以9的余數(shù)是4，1006除以9余數(shù)是7，所以余數(shù)是28除以9的余數(shù)為1．

解答：解：根據(jù)9的整除性可知，
一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與這個(gè)數(shù)的各位數(shù)相加的和除以9的余數(shù)是一樣的，
而兩個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加的和除以9的余數(shù)與這兩個(gè)數(shù)字相加的和除以9的余數(shù)也是相同的．
即1234567891011…200920102011的余數(shù)和1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011的余數(shù)一樣，
1+2+3+4+5+6+7+7+8+9+10+11+…+2009+2010+2011
=（1+2011）×2011÷2，
=2012÷2×2011，
=1006×2011．
2011×1006的余數(shù)與2011和1006分別除以9后的余數(shù)的乘積除以9的余數(shù)相同，
2011÷9=223…4，
1006÷9=111…7，
4×7÷9=3…1，
即數(shù)字A除以9的余數(shù)是1．

點(diǎn)評(píng)：明確“一個(gè)數(shù)除以9的余數(shù)與這個(gè)數(shù)的各位數(shù)相加的和除以9的余數(shù)是一樣的”及“兩個(gè)數(shù)各位數(shù)字相加的和除以9的余數(shù)與這兩個(gè)數(shù)字相加的和除以9的余數(shù)也是相同的”是完成本題的關(guān)鍵．