Question

如圖，長方形ABCD是由上、中、下三個長方形拼成的，已知中間長方形的寬正好是上下兩個長方形寬的和．那么S₁、S₃的面積和與S₄的面積比是

 

．

Answer 1

考點：相似三角形的性質(zhì)（份數(shù)、比例）

專題：平面圖形的認識與計算

分析：設圖中面積是S₁、S₂、S₃的圖形的高分別是a，b，c；且a+c=b．由圖形易知，圖中的三角形都是相似的．根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方，將S₃、S₄都用S₁表示出來，再算出S₁+S₃，與S₄比較可得答案．

解答： 解：設圖中面積是S₁、S₂、S₃的圖形的高分別是a，b，c；設空白三角形的面積為S₅．圖中的三角形都是相似形．
所以①S₁：（S₁+S₂）=a²：（a+b）²；
S₁+S₂=

(a+b)2

a2

S₁；
②（S₁+S₂）：（S₁+S₂+S₃）=（a+b）²：（a+b+c）²；
求出S₃=

c(2a+2b+c)

a2

S₁ 
③S₅：S₁=c²：a²，所以S₅=

c2

a2

S₁
④（S₄+S₅）：S₅=（b+c）²：c²，
S₄：S₅ =

b(b+2c)

c2

；
所以S₄ =

b(b+2c)

c2

S₅ =

b(b+2c)

a2

S₁ 
又b=a+c，
所以S₁+S₃=S₁+

c(2a+2b+c)

a2

S₁=

(a+c)(a+3c)

a2

S₁=

b(b+2c)

a2

S₁
所以S₁+S₃=S₄
所以（S₁+S₃）：S₄=1：1．
故答案為：1：1．

點評：本題須根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方來解答．