Question

【題目】在十進(jìn)制的表示中，三個(gè)依次增大的兩位數(shù)恰構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列；而在五進(jìn)制的表示中，這三個(gè)數(shù)的數(shù)字和是依次減少的．符合這樣要求的等差數(shù)列有多少個(gè)？

Answer 1

【答案】綜上共有6組：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．

【解析】

試題分析：設(shè)出這三個(gè)數(shù)分別為X、X+6、X+6+6．進(jìn)一步由五進(jìn)制數(shù)的特點(diǎn)，分情況探討得出答案即可．

解：設(shè)三個(gè)數(shù)分別為X、X+6、X+6+6．

兩位數(shù)化為五進(jìn)制數(shù)，最小20，最大400，也就是這三個(gè)數(shù)的五進(jìn)制數(shù)必然是2位或3位．最小的數(shù)必然是2位．

設(shè)其五進(jìn)制數(shù)形式后兩位為AB，則根據(jù)題意“在五進(jìn)制的表示中，這三個(gè)數(shù)的數(shù)字和依次減少”知

AB+11時(shí)發(fā)生一次進(jìn)位，AB+22 時(shí)發(fā)生兩次進(jìn)位．

【由十進(jìn)制加法，進(jìn)位1次，數(shù)字和少9得到的推論】

因此有：

①AB+11進(jìn)位在A上，AB+22進(jìn)位在A、B上：

B+1＜5，B+2≥5，B=3

A+1＞5，A＜5，A=4

則由[43]5=23、[143]5=48、[243]5=73、[343]5=98（舍棄）

得這三個(gè)數(shù)可能是

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

②AB+11進(jìn)位在B上，AB+22進(jìn)位在A、B上：

B＜5，B+1≥5，B=4

A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2

則由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍棄）

得這三個(gè)數(shù)可能是

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76；

綜上共有6組：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．