Question

15．三個大于1000的正整數滿足：其中任意兩個數之和的個位數字都等于第三個數的個位數字，那么這3個數之積的末尾3位數字有4種可能數值．

Answer 1

分析 假設三個數的個位分別為a、b、c，那么根據條件“任意兩個數之和的個位數字都等于第三個數的個位數字”可知這三個數可分為三種情況：（1）如果a、b、c都相等，則只能都為0；（2）如果a、b、c中有兩個相等；（3）．如果a、b、c都不相等；據此解答即可．

解答 解：設三個數的個位分別為a、b、c  
 （1）如果a、b、c都相等，則只能都為0；  
（2）如果a、b、c中有兩個相等，則有以下兩種情況：
①．a、a、c且a＜c，必有c+a=10+$\underset{α}{•}$，則c=10，與c為數字矛盾；  
②．a、a、c且a＞c，則有c+a=a，a+a=10+$\underset{c}{•}$，則a=5，c=0；   
（3）．如果a、b、c都不相等，設a＜b＜c，則c+b=10+a，c+a=10+，則c=10，與c為數字矛盾；   
綜上三個數的個位分別為0，0，0或0，5，5； 
 （1）．如果都為0，則乘積末尾三位為000；
 （2）．如果為0，5，5              
①．如果個位為0的數，末尾3位都為0，則乘積末尾三位為000；  
②．如果個位為0的數，末尾2位都為0，則乘積末尾三位為500或000；   
③．如果個位為0的數，末尾1位為0 
設末尾兩位為c₀，設另外兩個末尾兩位為a5，b₅ 則$\overline{{a}_{5}}$×$\overline{_{5}}$=100ab+50（a+b）+$\underset{25}{•}$，
若（α+b）為奇數，則乘積的末兩位為75；若（α+$\underset{•}$）為偶數，則乘積的末兩位為25，再乘上c₀，無論c為多少，末尾三位只有000，250，500，750這4種． 
綜上所述，積的末尾三位有000，500，250，750這四種可能．
故答案為：4．

點評 本題解答的關鍵是：正確把這三個三個大于1000的正整數根據任意兩個數之和的個位數字都等于第三個數的個位數字這個條件正確分類．