Question

菲菲分別統(tǒng)計A的約數(shù)個數(shù)，A的2倍的約數(shù)個數(shù)，A的3倍的約數(shù)個數(shù)，…A的10倍的約數(shù)個數(shù)后得到下表．如果這個表中只有一處統(tǒng)計錯了，那么整數(shù)A是

 

． 

算式	A	2×A	3×A	4×A	5×A	6×A	7×A	8×A	9×A	10×A
約數(shù)個數(shù)	24	30	36	36	48	45	32	42	49	60

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：首先根據(jù)題意，分別判斷出A到2A、3A、…、8A，約數(shù)增加的個數(shù)，進而判斷出A的質(zhì)因數(shù)的情況，進而求出A的值是多少；然后根據(jù)A的取值情況，逐一判斷出A、2A、3A、…、9A的約數(shù)個數(shù)，判斷出9×A的約數(shù)個數(shù)統(tǒng)計錯誤，進而驗證出A的準確性即可．

解答： 解：根據(jù)分析，可得
（1）A到2A時，增加1個質(zhì)因數(shù)2，約數(shù)增加30-24=6（個），所以A必有質(zhì)因數(shù)2，
（2）A到3A時，增加1個質(zhì)因數(shù)3，約數(shù)增加36-24=12（個），所以A必有質(zhì)因數(shù)3，
（3）A到4A時，增加2個質(zhì)因數(shù)2，約數(shù)增加36-24=12（個），所以A必有質(zhì)因數(shù)2，
（4）A到5A時，增加1個質(zhì)因數(shù)5，約數(shù)增加48-24=24（個），約數(shù)增加一倍，所以A沒有質(zhì)因數(shù)5，
（5）A到6A時，增加1個質(zhì)因數(shù)2和1個質(zhì)因數(shù)3，約數(shù)增加45-24=21（個），所以A必有質(zhì)因數(shù)2和3，
（6）A到7A時，增加1個質(zhì)因數(shù)7，約數(shù)增加（32-24=8）8個，所以A必有質(zhì)因數(shù)7，
（7）A到8A時，增加3個質(zhì)因數(shù)2，約數(shù)增加（42-24=18）18個，所以A必有分解質(zhì)因數(shù)2，
…
（8）A到2A，4A，8A過程中，
約數(shù)個數(shù)分別增加6個、12個、18個，
那么24=4×6或者24=4×2×3，
A中必有一個因數(shù)為2³；
（9）A到7A過程中，約數(shù)個數(shù)增加8個，
A中有一個因數(shù)為7²，另一個質(zhì)因數(shù)是3；
所以可得：
A=2³×3×7²，A的約數(shù)個數(shù)：
（3+1）×（1+1）×（2+1）
=4×2×3
=24（個）；

2A=2⁴×3×7²，2×A約數(shù)的個數(shù)：
（4+1）×（1+1）×（2+1）
=5×2×3
=30（個）

3A=2³×3²×7²，3×A約數(shù)的個數(shù)：
（3+1）×（2+1）×（2+1）
=4×3×3
=36（個）

4A=2⁵×3×7²，4×A約數(shù)的個數(shù)：
（5+1）×（1+1）×（2+1）
=6×2×3
=36（個）
…
9A=2³×3³×7²，9×A約數(shù)的個數(shù)：
（3+1）×（3+1）×（2+1）
=4×4×3
=48（個）
所以9A的約數(shù)的個數(shù)統(tǒng)計錯誤，應該是48個，不是49個，
因此A=2³×3×7²=1176．
故答案為：1176．

點評：此題主要考查了約數(shù)個數(shù)問題的應用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出A到2A、3A、…、8A，約數(shù)增加的個數(shù)，進而判斷出A的質(zhì)因數(shù)的情況．