Question

7．有一列數(shù)：$\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{1}{4}$，…它的前2015個數(shù)的和是多少？

Answer 1

分析 此題屬典型的高斯求和問題，先找出這一串數(shù)字的變化規(guī)律，再利用高斯求和的知識求得答案．

解答 解：以1為分母的數(shù)有1個，相加和S₁=1，
以2為分母的數(shù)有2個，相加和S₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$=$\frac{3}{2}$，
以3為分母的數(shù)有3個，相加和S₃=$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{3}$=2，…
以n為分母的數(shù)有n個，相加和S_n=$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…+$\frac{n}{n}$=$\frac{n（n+1）}{2n}$=$\frac{n+1}{2}$，
求前2015個數(shù)的和，先確定第2015個數(shù)分母是什么，即求滿足 1+2+3+4…+m=$\frac{n（n+1）}{2}$≥2015的最小整數(shù)n，易得n=63，62×63÷2=1953，
分母為63的數(shù)有2015-1953=62個，即$\frac{1}{63}$、$\frac{2}{63}$、$\frac{3}{63}$、…、$\frac{62}{63}$，
則前2015個數(shù)的和是：
S=S₁+S₂+…S₆₂+$\frac{1}{63}$+$\frac{2}{63}$+$\frac{3}{63}$+…+$\frac{62}{63}$
=（1+2+3+…62）÷2+（1+2+3+…+62）÷63
=（1+62）×62÷2÷2+（1+62）×62÷2÷63
=976.5+31
=1007.5
答：它的前2015個數(shù)的和是1007.5．

點評 考查了數(shù)列中的規(guī)律，此題關(guān)鍵是總結(jié)出S_n=$\frac{n+1}{2}$，據(jù)此即可求得結(jié)果．