Question

設(shè)x₁，x₂，…，x₁₂是任意互異的12個整數(shù)，試證明其中一定存在8個整數(shù)x₁，x₂，…，x₈，使得：（x₁-x₂）×（x₃-x₄）×（x₅-x₆）×（x₇-x₈）恰是1155的倍數(shù)．

Answer 1

分析：因為1155=3×5×7×11，所以只要證明這個積是3，5，7，11的公倍數(shù)既可．因為有十二個數(shù)，所以（根據(jù)抽屜原理）一定存在兩個數(shù)，他們除以11的余數(shù)相同，不妨設(shè)x₁，x₂，那么（x₁-x₂）是11的倍數(shù)．同理還有10個數(shù)那么這10個數(shù)中一定有兩個數(shù)，它們除以7的余數(shù)相同，不妨設(shè)x₃、x₄，那么x3-x4是7的倍數(shù)．以此類推，8個數(shù)中一定有兩個數(shù)的差能被5整除，6個數(shù)中一定有兩個數(shù)的差能被3整除．那么它們就可以被11×7×5×3=1155整除．

解答：解：對1155分解質(zhì)因數(shù)得1155=3×5×7×11．
因為，在所給的12數(shù)中，必有2數(shù)除以11，余數(shù)相同，設(shè)這2數(shù)為x₁，x₂，則（x₁-x₂）是11的倍數(shù)．
在剩下的數(shù)中，必有2數(shù)除以7，余數(shù)相同，設(shè)這2數(shù)為x₃，x₄，則（x₃-x₄）是7的倍數(shù)．
在剩下的8數(shù)中，必有2數(shù)除以5，余數(shù)相同，設(shè)這2數(shù)為x₅，x₆，則（x₅-x₆）是5的倍數(shù)．
在剩下的6數(shù)中，必有2數(shù)除以3，余數(shù)相同，設(shè)這二數(shù)為x₇，x₈，則（x₇-x₈）是3的倍數(shù)．
故存在8個數(shù)x₁，x₂，x₈，使（x₁-x₂）（x₃-x₄）（x₅-x₆）（x₇-x₈）是1155的倍數(shù)．

點(diǎn)評：本題要在了解“抽屜原理”的基礎(chǔ)上完成．