Question

n張卡片，每張上寫一個不為0的自然數(shù)，彼此不同，小李和另外（n-1）個小朋友做游戲，每人任意取-張，共取n次，每次各人記下自己取得的數(shù)字后，一輪卡片發(fā)完后，再將卡片放回去，最后各人計算自己取得的數(shù)字和作為得分，并按得分多少排名．已知小李n次取得的數(shù)字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他們（不包括小李）得分之和為2001．問n等于多少？小李最高能是第幾名？

Answer 1

考點：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：設卡片上的數(shù)字為a₁、a₂、a₃、…、a_n，求出每發(fā)一輪卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和，據(jù)此可求出取n次后所有小朋友（包括小李）的得分和是，因為小李n次取得的數(shù)字各不相同，可得出小李的得分剛好等于a₁+a₂+a₃+…+a_n，據(jù)此可求出n-1個小朋友的得分和，再根據(jù)他們（不包括小李）得分之和為2001．將2001分解質因數(shù)，分情況討論即可．

解答： 解：設卡片上的數(shù)字為a₁、a₂、a₃、…、a_n，
每發(fā)一輪卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是a₁+a₂+a₃+…+a_n，
取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（a₁+a₂+a₃+…+a_n），
因為小李n次取得的數(shù)字各不相同，小李的得分剛好等于a₁+a₂+a₃+…+a_n，n-1個小朋友的得分和為（n-1）×（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=2001=3×23×29．
如果n-1=23，則n=24，此時即便卡片上的數(shù)即便是取最小的數(shù)，即從1取到24，n-1個小朋友的得分也應為23×（1+2+3+…+24）=6900＞2001，與題設矛盾．
故n-1只能取3，所以n=4，a₁+a₂+a₃+…+a_n=23×29=667．即小李的得分是667，因為3×667=2001，所以其它3人的得分中，必有一個分數(shù)大于667，小李最高為第二名．
答：n等于4，小李最高能是第二名．

點評：本題主要考查數(shù)字問題，將2001分解質因數(shù)，從而得出人數(shù)和小李的得分和是解答本題的關鍵．