Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x+1）=

1

f(x)

，當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=2^x，則f（log₂9）等于

8

9

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，算出f（x+2）=f（x），得f（x）是最小正周期為2的周期函數(shù)．從而算出f（log₂9）=f（log₂

9

4

）．由x∈（0，1]時f（x）=2^x，結(jié)合f（x+1）f（x）=1算出f（log₂

9

4

）=

1

f(log 2 9 8 )

=

8

9

，即可得到所求的函數(shù)值．

解答：解：∵f（x+1）=

1

f(x)

，
∴f（x+2）=

1

f(x+1)

=

1

1 f(x)

=f（x），可得f（x）是最小正周期為2的周期函數(shù)
∵8＜9＜16，2＞1
∴l(xiāng)og₂8＜log₂9＜log₂16，即log₂9∈（3，4）
因此f（log₂9）=f（log₂9-2）=f（log₂

9

4

）
∵f（log₂

9

4

）=

1

f(log2 9 4 -1)

=

1

f(log 2 9 8 )

而f（log₂

9

8

）=2log2

9

8

=

9

8

，
∴f（log₂9）=f（log₂

9

4

）=

1

f(log 2 9 8 )

=

8

9

故答案為：

8

9

點(diǎn)評：本題給出函數(shù)滿足的條件，求特殊自變量對應(yīng)的函數(shù)值．著重考查了函數(shù)的周期性及其證明、對數(shù)的運(yùn)算法則和函數(shù)性質(zhì)的理解等知識，屬于中檔題．