Question

已知橢圓E的兩個焦點分別為（-1，0）和（1，0），離心率e=

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=x+m（m≠0）與橢圓E交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點T，當(dāng)m變化時，求△TAB面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的焦點坐標(biāo)，離心率，求出a，c，可求b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=x+m代入橢圓方程，求出|AB|，|MT|，可得△TAB的面積，配方，即可求出三角形面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知橢圓的焦點在x軸上，c=1，

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，---（2分）
∴橢圓E的方程為

x2

2

+y2=1---（4分）
（Ⅱ）y=x+m代入橢圓方程，消去y得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直線l與橢圓有兩個交點，
∴△＞0，可得m²＜3（*）---（6分）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，
∴弦長|AB|=

2

|x₁-x₂|=

2 2

3

•

6-2m2

，---（8分）
AB中點M（-

2m

3

，

m

3

），設(shè)T（x，0），∴k_AB•k_MT=-1，
∴

m 3

- 2m 3 -x

•1=-1，
∴x=-

m

3

，
∴T（-

m

3

，0），|TM|=

2 |m|

3

---（11分）
∴S=

1

2

|AB||MT|=

2

9

-2(m2- 3 2 )2+ 9 2

∵m²＜3，∴m²=

3

2

時，S_max=

2

3

--（14分）

點評：待定系數(shù)法是解決橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵，直線與圓錐曲線聯(lián)立，是解決弦長問題的常用方法．