Question

4．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ．
（1）求出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y=2x關(guān)于點M（0，m）（m≠0）對稱的直線為l'．若直線l'上存在點P使得∠APB=90°，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，即可求出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）l：y=2x關(guān)于點M（0，m）的對稱直線l'的方程為y=2x+2m，而AB為圓C的直徑，故直線l'上存在點P使得∠APB=90°的充要條件是直線l'與圓C有公共點，即可求實數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+y²=4．
（2）l：y=2x關(guān)于點M（0，m）的對稱直線l'的方程為y=2x+2m，而AB為圓C的直徑，故直線l'上存在點P使得∠APB=90°的充要條件是直線l'與圓C有公共點，故$\frac{{|{4+2m}|}}{{\sqrt{5}}}≤2$，于是，實數(shù)m的最大值為$\sqrt{5}-2$．

點評 本題考查極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系的運用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．