Question

某自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，包括1和本身在內(nèi)共有10個(gè)約數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)是多少？

Answer 1

分析：根據(jù)“某自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，”可知這個(gè)自然數(shù)一定含有約數(shù)3和4；又由于求一個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)的計(jì)算方法：所有相同質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)加1的連乘的積就是這個(gè)數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)，可知10只能寫成1×10和2×5這兩個(gè)算式，其中1×10不合題意；由此推出這個(gè)自然數(shù)應(yīng)是1個(gè)質(zhì)因數(shù)3，與4個(gè)相同質(zhì)因數(shù)2的乘積，由此分析探討即可得出答案．

解答：解：根據(jù)“某自然數(shù)是3和4的倍數(shù)，”可知這個(gè)自然數(shù)一定含有約數(shù)3和4；
又根據(jù)約數(shù)的個(gè)數(shù)的公式可得：10=2×5=（1+1）×（4+1），
所以：這個(gè)自然數(shù)應(yīng)是1個(gè)質(zhì)因數(shù)3，與4個(gè)相同質(zhì)因數(shù)2的乘積，
即這個(gè)自然數(shù)為3¹×2⁴=3×16=48，
答：這個(gè)自然數(shù)是48．

點(diǎn)評(píng)：此題是數(shù)論中的約數(shù)個(gè)數(shù)問題；即一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式：N=p^α×q^β×r^γ（其中N為合數(shù)，p、q、r是質(zhì)數(shù)），則N的約數(shù)共（α+1）（β+1）（γ+1）個(gè)約數(shù)．