Question

（1）如圖1，矩形ABCD，點C與坐標原點O重合，點A在x軸上，點B坐標為（3，），求經(jīng)過A、B、C三點拋物線的解析式；
（2）如圖2，拋物線E：經(jīng)過坐標原點O，其頂點在y軸左側(cè)，以O(shè)為頂點作矩形OADC，A、C為拋物線E上兩點，若AC∥x軸，AD=2CD，則拋物線的解析式是______；
（3）如圖3，點A、B、C分別為拋物線F：y=ax²+bx+c（a＜0）上的點，點B在對稱軸右側(cè)，點D在拋物線外，順次連接A、B、C、D四點，所成四邊形為矩形，且AC∥x軸，AD=2CD，求矩形ABCD的周長（用含a的式子表示）．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先過點B作BH⊥AO于H，由三角函數(shù)的知識，即可求得∠AOB的度數(shù)，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得點A的坐標，又因為拋物線過原點，可設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）根據(jù)矩形與三角函數(shù)的知識，即可求得點A與C的坐標分別為（-y，y）與（2y，y），又由拋物線過原點，求得c=0，將點A與C的坐標代入解析式即可求得b的值，則可求得拋物線的解析式；
（3）首先作輔助線：過點B作BH⊥AO于H，令頂點為P，作拋物線對稱軸PQ交AC于點M，過B作BN⊥PQ于N，由三角函數(shù)的知識求得，則可令A(yù)H=t，將BH，CH，AB，BC用t表示出來，代入函數(shù)解析式即可求得t的值，則問題得解．
解答：解：（1）過點B作BH⊥AO于H，
則OH=3，BH=，
∴tan∠AOB=，
∴∠AOB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABO=90°，
∴∠BAO=60°，
∴tan∠BAO=，
∴AH=1，
∴A（4，0），
∵拋物線過原點，設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx，
則，∴，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+x；

（2）∵四邊形AOCD是矩形，
∴∠AOC=∠D=90°，OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵AC∥x軸，
∴∠OEC=90°，
∴∠AOE+∠COE=∠COE+∠OCA=90°，
∴∠AOE=∠ACO=∠CAD，
在Rt△ACD中，tan∠CAD=，
∵AD=2CD，
∴tan∠ACO=tan∠AOE=tan∠CAD=，
∵點A與C的縱坐標相同，
∴可設(shè)點A的坐標為（-y，y），點C的坐標為（2y，y），
∵拋物線過原點，
∴c=0，
∴拋物線解析式為：y=-x²+bx，
將點A與C的坐標代入拋物線的解析式得：，
解得：b=-，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²-x；

（3）過點B作BH⊥AO于H，令頂點為P，
作拋物線對稱軸PQ交AC于點M，
過B作BN⊥PQ于N，
∴∠BHC=∠BHA=90°，
∵∠ABC=90°，
∴tan∠ABH=tan∠ACB=，
令A(yù)H=t，則BH=2t，CH=4t，
AB=t，BC=t，
設(shè)y=ax²+bx+c=a（x-h）²+k，PN=n，
則A（，k-n-2t），B（，k-n），
∴，
∴t₁=0（舍去），，
∴AB=，BC=，
∴矩形ABCD的周長為．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用以及求四邊形的周長等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．