Question

【題目】如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，和相交于點(diǎn)，且．

（1）求證：；

（2）分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）利用DC2=CECA，加上∠DCE=∠ACD可判斷△CDE∽△CAD，則∠CDB=∠CAD，從而得到BC=CD；

（2）連接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質(zhì)定理求得PC的值，再由割線定理PCPD=PBPA求得半徑，根據(jù)勾股定理求得AC，再證明△AFD∽△ACB，設(shè)FD=x，由比例線段得到AF=x,，在Rt△AFP中，利用勾股定列出方程，求解得DF.也可連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于，和△PGO∽△PFA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和等量代換可得，根據(jù)線段之間的關(guān)系，即可解決.

（1）證明：，

，

，

，

，

∵四邊形內(nèi)接于，

；

（2）解：方法一：如圖，連接，

，

，

又，

，

，

，

，

，，

又

，即，，

在中，

，

是直徑，

，

，

又，

在中，設(shè)，則，

∴在中有，，

求得．

方法二；連接，過(guò)點(diǎn)作垂直于，

易證，可得，

△PGO∽△PFA，可得，

可得，，由方法一中代入，

即可得出．