Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O₁的坐標(biāo)為（-4，0），以點(diǎn)O₁為圓心，8為半徑的圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線l與x軸負(fù)方向相交成60°角．以點(diǎn)O₂（13，5）為圓心的圓與x軸相切于點(diǎn)D．

（1）求直線l的解析式；
（2）將⊙O₂以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左平移，同時(shí)直線l沿x軸向右平移，當(dāng)⊙O₂第一次與⊙O₁相切時(shí)，直線l也恰好與⊙O₂第一次相切，求直線l平移的速度；
（3）將⊙O₂沿x軸向右平移，在平移的過程中與x軸相切于點(diǎn)E，EG為⊙O₂的直徑，過點(diǎn)A作⊙O₂的切線，切⊙O₂于另一點(diǎn)F，連接AO₂、FG，那么FG•AO₂的值是否會(huì)發(fā)生變化？如果不變，說(shuō)明理由并求其值；如果變化，求其變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：因?yàn)椤袿₂不斷移動(dòng)的同時(shí)，直線l也在進(jìn)行著移動(dòng)，而圓與圓的位置關(guān)系有：相離（外離，內(nèi)含），相交、相切（外切、內(nèi)切〕，直線和圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離，所以這樣一來(lái)，我們?cè)诜治鲞^程中不能忽略所有的可能情況．
解答：解：（1）設(shè)直線l與y軸交于點(diǎn)N，
直線l經(jīng)過點(diǎn)A（-12，0），
∵∠OAN=60°，
∴tan30°=，
解得：NO=12，
故與y軸交于點(diǎn)（0，），
設(shè)解析式為y=kx+b，則b=，k=，
∴直線l的解析式為y=-x-12；

（2）⊙O₂第一次與⊙O₁相切時(shí)，向左平移了5秒（5個(gè)單位）如圖所示．
在5秒內(nèi)直線l平移的距離計(jì)算：
8+12-=20-
所以直線l平移的速度為每秒（4-）個(gè)單位；

（3）其值不變．
∵Rt△EFG∽R(shí)t△AEO₂
于是可得：（其中O₂E=EG）
所以FG•AO₂=EG²=50，即其值不變．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，全等三角形的判定，圖形的平移變換等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力．