Question

【題目】如圖，在中，，，，為的中點．動點從點出發(fā)以每秒個單位向終點勻速運動（點不與、、重合），過點作的垂線交折線于點．以、為鄰邊構造矩形．設矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為秒．

（1）直接寫出的長（用含的代數(shù)式表示）；

（2）當點落在的邊上時，求的值；

（3）當矩形與重疊部分圖形不是矩形時，求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；

（4）沿直線將矩形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合條件的的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）；（4）或．

【解析】

（1）根據(jù)P點的運動速度和BD的長度即可出結果；

（2）畫出圖象，根據(jù)三角形的相似求出各個線段長，即可解決；

（3）分情況討論，矩形與重疊部分面積即為矩形面積減去△ABC外部的小三角形面積，通過三角函數(shù)計算出各邊長求面積即可；

（4）要想使被直線分割成的兩部分能拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形，則需要被分割的是兩個至少有一條相等邊長的直角三角形，或者直線正好過正方形一條邊的中點，分情況畫圖求解即可．

解：（1）∵，為的中點，

∴，

P從B運動到點D所需時間為1s，

由題意可知，

；

（2）如圖所示，

由題意得，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

由四邊形是矩形可知，∠QPD=∠MDP=90°，PQ=DM，即∠APQ=∠BDM=90°，

∵∠B=∠B，∠BDM=∠ACB=90°，

∴△MDB∽△ACB，

∴ ，即，

∴，即

∵∠A=∠A，∠APQ=∠ACB=90°，

∴△APQ∽△ACB，

∴ ，即，

解得 ；

（3）當 時，如圖，DM交BC于點F，

由矩形可知PD∥QM，∴∠FQM=∠B=30°，

此時，

∴，

∴,

解得，

，

同理，，解得，

，

，

當 時，如圖，DM交BC于點F，QM交BC于E，

，由題意可知∠A=60°，

，

∴，即，

，得，

∴，

∵，

∴，

，

，

∴，

綜上所述： ；

（4）如圖所示，當Q與C重合時，滿足條件，

由前面解題過程可知此時，

當PQ=DM時，此時直線CD正好過QM的中點，滿足條件，

此時，

當直線CD正好過PQ的中點G時，滿足條件，如圖，

由前面計算可知，則，

，

解得，

綜上所述，或．