Question

（本題滿分12分）已知拋物線交x軸于A(1,0)、B(3,0)兩點，交y軸于點C，其頂點為D．

（1）求b、c的值并寫出拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，過點O作直線OE⊥BC交拋物線的對稱軸于點E．
求證：四邊形ODBE是等腰梯形；
（3）拋物線上是否存在點Q，使得△OBQ的面積等于四邊形ODBE的面積的？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）x=2
（2）四邊形ODBE是等腰梯形，證明略。
（3）存在，理由略。

解析（1）求出：，，拋物線的對稱軸為：x="2    " ……3分
(2) 拋物線的解析式為，易得C點坐標(biāo)為（0，3），D點坐標(biāo)為（2，-1）
設(shè)拋物線的對稱軸DE交x軸于點F，易得F點坐標(biāo)為（2，0），連接OD，DB，BE
∵OBC是等腰直角三角形，DFB也是等腰直角三角形，E點坐標(biāo)為（2，2），
∴∠BOE= ∠OBD=   ∴OE∥BD
∴四邊形ODBE是梯形                           ……5分
在和中，
OD= ，BE=
∴OD= BE
∴四邊形ODBE是等腰梯形                      …7分
(3) 存在，                                            ………8分
由題意得：    ………9分
設(shè)點Q坐標(biāo)為（x，y），
由題意得：=
∴
當(dāng)y=1時，即，∴ ， ，
∴Q點坐標(biāo)為（2+，1）或(2-，1)               ……11分
當(dāng)y=-1時，即， ∴x=2，
∴Q點坐標(biāo)為（2，-1）
綜上所述，拋物線上存在三點Q（2+，1），Q (2-，1) ，Q（2，-1）
使得=．              ……12分